Logarithmengesetz loga(u^{v}) = v ·loga(u) beweisen

Question

 Seien a,b,u und v reelle Zahlen mit a,b,u, v > 0 und a,b ≠ 1.

(a) Beweisen Sie das Logarithmengesetz loga(u^v) = v ·loga(u), indem Sie ein geeignetes Potenzgesetz verwenden.

(b) Beweisen Sie das folgende Logarithmusgesetz:
loga(u) = logb(u)/logb(a)
.

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe diese beiden Aufgaben zu lösen. Kann mir jemand diese Vorrechnen in verständlichen Schritten?

Lg und Danke

Comments

Sicher, dass

a,b,u und v reelle Zahlen

alles reelle Zahlen sein dürfen?
Welche Potenzgesetze kennst du denn für reelle Exponenten?

Answer 1

a) \(\log_{a}\left(u^{v}\right)=\log_{a}\left(\left(a^{\log_{a}(u)}\right)^{v}\right)=\log_{a}\left(a^{v\cdot\log_{a}(u)}\right)=v\cdot\log_{a}(u)\)

b)

    \(\begin{aligned} \frac{\log_{b}\left(u\right)}{\log_{b}\left(a\right)} & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{b}\left(a\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{a}\left(b^{\log_{b}\left(a\right)}\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{a}\left(a\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{1}\\ & =\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)\\ & =\log_{a}\left(b^{\log_{b}\left(u\right)}\right)\\ & =\log_{a}\left(u\right) \end{aligned}\)

in verständlichen Schritten

Ob die Schritte verständlich sind, hängt davon ab, welche Regeln du kennst. Ich habe bei jedem Umformungsschritt eine einzige Regel angewendet. Gib für jeden Umformungsschritt an, welche Regel das ist. Falls du nicht weißt, welche Regel angewendet wurde, dann frag.

Comments

super vielen dank :) ist sehr verständlich danke

Answer 2

\(a^b=c \quad;\quad b=\log_a c\)

zu (a)

\(x=\log_a(u^v) \quad;\quad a^x=u^v\)

\(y=v\cdot \log_a u \quad;\quad \frac{y}{v}=\log_a u \quad;\quad a^{(y/v)}=u \quad;\quad a^y=u^v\)

\(\Rightarrow x=y\)

zu (b)

zu zeigen ist \(\log_a(u) = \dfrac{\log_b(u)}{\log_b(a)} \)

\(x=\log_a u \quad;\quad a^x=u  \quad(1)\)

\(y=\log_b u \quad;\quad b^y=u  \quad(2)\)

\(z=\log_b a \quad;\quad b^z=a   \quad(3)\)

\((1),(2) \Rightarrow a^x=b^y  \quad(4)\)

\((3)\Rightarrow a^x= (b^z)^x=b^{z\cdot x}\quad(5)\)

\((4),(5)\Rightarrow y=z\cdot x\)

\(x=\dfrac{y}{z}\)

\(\log_a(u) = \dfrac{\log_b(u)}{\log_b(a)} \)

Answer 3

log_a(u^v) = v ·log_a(u)

Sei z = log_a(u^v)   und  y = log_a(u)   #

 ==>   a^z = u^v   und  a^y = u

Das 2. beim 1. einsetzt gibt    a^z = ( a^y )^v

mit Potenzgesetz also      a^z     = a^(y*v)

Da beide die gleiche Basis haben

==>                  z = y*v  = v*y

Einsetzen von # beendet den Beweis :

            log_a(u^v)  = v * log_a(u)  .

b)  log_a(u) = log_b(u)/log_b(a)

Sei x =  log_b(u) und y = log_b(a) und z  = log_a(u)  #

 ==>   b^x = u und  b^y = a  und  a^z = u

1 und 3 liefern     b^x = a^z und dort 2 einsetzen

            gibt  b^x  =(b^y) ^z  = b^(y*z)

vorne und hinten gleiche Basis

==>      x = y*z

==>     x / y = z  . Jetzt wieder # einsetzen.   q.e.d.