Grenzwerte berechnen mit Grenzwertsätzen

Question

da ich seit Stunden probiere diese Aufgaben zu lösen, aber immer wieder gegen eine Wand laufe frage ich mal hier nach ;)

Ich soll die Grenzwerte zu folgenden Aufgaben berechnen:

a) \( \lim \limits _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n-1}\right)^{3 n+1} \)
b) \( \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{2} \sqrt{n}-6 n^{\frac{3}{2}}}{5 \sqrt{n^{5}}+7 n^{2}-n} \)
c) \( \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\pi n^{5}+4 n^{3}+2738} \)
d) \( \lim \limits _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n-2}\right)^{n+5} \)

 Mein Hauptproblem ist, dass ich Aufgaben ohne Potenzen lösen kann, wo ich Brüche erweitern muss aber die Kombination verstehe ich nicht.

zu 1) Ich habe erst die Potenz auseinander geschrieben (1+\( \frac{1}{2n-1} \))³ⁿ +  (1+\( \frac{1}{2n-1} \)) und dann die Brüche mit 2n-1 erweitert und versucht umzuformen, komme aber einfach zu nichts oder ich bin zu doof...

zu 2) Hier habe ich den Ansatz, wie bei ähnlichen Aufgaben die höchste Potenz vor die Klammer zu ziehen, dann hätte ich

oben 3n² * n^1/2 - 6n^3/2 / 5 * n^5/2 + 7n² -n

Dann n²  ausklammern, hier weiß ich leider nicht mehr weiter, was wird denn aus z.B n^1/2 ?

3) Verstehe ich leider gar nicht und bei der 4) habe ich das selbe Problem wie bei der 1).

Answer 1

zu b)

n^(5/2) ausklammern und kürzen (höchste Potenz)

ich habe für n  x geschrieben

Zähler:3 -1/n

Nenner:5 +7 *n^(-1/2) - n^(-3/2)

$$\lim \limits _ { x \rightarrow \infty } \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { x } - 6 x ^ { 3 / 2 } } { 5 \sqrt { x ^ { 5 } } + 7 x ^ { 2 } - x } = \frac { 3 } { 5 }$$

Answer 2

c) Klammere unter Wurzel n^5 aus  und ziehe die Teilwurzeln

d) = (1+1/(n-2))^(n-2) *(1+1/(n-2))^7 → lim = e für n gg oo.

Answer 3

Aloha :)

$$\text{a) } \left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{3n+1}= \left[\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{2n+2/3}\right]^{3/2}$$$$=\left[\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{2n-1}\cdot\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{5/3}\right]^{3/2}$$$$=\left[\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{2n-1}\right]^{3/2}\cdot\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{5/2}\;\;\to\;\;e^{3/2}\cdot1=e\sqrt e$$

$$\text{b) } \frac{3n^2\sqrt n-6n^{3/2}}{5\sqrt{n^5}+7n^2-n}=\frac{3n^{5/2}-6n^{3/2}}{5n^{5/2}+7n^2-n}=\frac{3-6n^{-1}}{5+7n^{-1/2}-n^{-3/2}}$$$$=\frac{3-\frac{6}{n}}{5+\frac{7}{\sqrt n}-\frac{1}{n\sqrt n}}\;\;\to\;\;\frac{3-0}{5+0-0}=\frac{3}{5}$$$$\\\text{c) } \sqrt[n]{\pi n^5 +4n^3+2738}=\sqrt[n]{n^5\left(\pi+\frac{4}{n^2}+\frac{2738}{n^5}\right)}$$$$=\left(\sqrt[n]{n}\right)^5\cdot\sqrt[n]{\pi+\frac{4}{n^2}+\frac{2738}{n^5}}\to\;\;1^5\cdot1=1$$

$$\text{d) } \left(1-\frac{1}{n-2}\right)^{n+5}=\left(1+\frac{-1}{n-2}\right)^{n-2}\cdot\left(1+\frac{-1}{n-2}\right)^7\;\;\to\;\;e^{-1}\cdot1=\frac{1}{e}$$

Comments

Darf ich fragen, wie du die a) und die d) gemacht hast?

Wieso machst du aus der ⁿ⁺⁵ einmal ein n-2 und dann eine 7 und wieso werden bei den einsen die Vorzeichen getauscht? Gibt es da irgend ein Satz der das besagt, ich komm mir so blöd vor wenn das so viele einfach so runterrattern :/ Ich weiß, dass e = lim n-> oo (1+1/n)^n ist und denke du hast das auch irgendwie benutzt, aber wie genau weiß ich leider nicht. Danke für deine Hilfe

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Es gilt: \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x\).

Daher ist bei (a): \(\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{2n-1}\to e^1\).

undb bei (b): \(\left(1-\frac{1}{n-2}\right)^{n-2}=\left(1+\frac{-1}{n-2}\right)^{n-2}\to e^{-1}\).

Die Exponenten habe ich in beiden Fällen extra so umgeformt, dass dieser Zusammenhang deutlich wird.

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Also ist das, was in der Klammer steht "egal"?

Wenn ich ein Ausdruck habe wie z.B (1+3/2n-1)ⁿ⁺⁵ ist das Ergebnis dann e³ ?

Danke dir :)

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Ist da nicht etwas schief gelaufen bei der a) im letzten schritt?

(Kommentar hab ich berücksichtigt)