Näherungswert mit Restglied berechenbar?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ohne Taschenrechner einen Näherungswert a∈Q zu ln(1,1)mit |a−ln(1,1)|<0,00

Problem/Ansatz:

Ist es möglich diese Aufgabe mit einem Restglied von einem Taylorpolynom zu lösen? Und wenn ja, wie wäre das möglich, da ich nur das Restglied nach Taylor und das nach Lagrange. Falls nein, was wäre ein anderer Ansatz?

Answer 1

Aloha :)

Die geometrische Reihe konvergiert für \(|q|<1\):$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$Mit \(q=-x\) und \(|x|<1\) gilt daher:$$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-x)^k=1-x+x^2-x^3+\cdots$$Integration beider Seiten von \(0\) bis \(x\) liefert:$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$Damit ist:$$\ln(1,1)=\ln(1+0,1)=0,1-\frac{0,01}{2}+\frac{0,001}{3}-\frac{0,0001}{4}+\cdots$$$$\phantom{\ln(1,1)}=0,1-0,005+0,000\overline3-0,000025+\cdots$$$$\phantom{\ln(1,1)}=0,09853$$