Zeigen Sie, dass die Menge {u+v,u-v,u+w} linear unabhängig ist

Question

Es sei V ein beliebiger Vektorraum über R und {u,v,w} eine Menge von drei linear unabhängigen Vektoren über V.

a.) Zeigen Sie, dass die Menge (u+v, u - v, u +w} linear unabhängig ist

b.) Zeigen Sie, dass die Menge {u + v, v + w, u - w} linear abhängig ist.

Vielen Dank

Answer 1

b)  {u + v, v + w, u - w} linear abhängig ist.

Ansatz

a(u+v) + b(v+w) = u-w

au + av + bv + bw = u -w

(a-1) u + (a+b)v + (b+1)w = 0

Da u,v,w n.V. lin. unabh.

==> a=1, b=-1 und automatisch (Kontrolle) a+b = 1-1 = 0

(u+v) - (v+w) = u-w ist eine Linearkomb. der ersten beiden Vektoren, die den dritten ergibt. D.h. die 3 Vektoren sind lin. abh. qed.

a) {u+v, u - v, u +w} linear unabhängig ist

Beweis indirekt.

Annahme es gibt a,b,x in R nicht alle 0 s.d.

a(u+v) + b(u - v) + c(u +w) = 0.
(a+b+c) u + (a-b)v + cw = 0

weil u,v,w lin. unabh.

==> c = 0

a-b = 0 -----> a= b

a+b+c = 0 = a + a + 0 = 2a

----> a=0

----> b= 0

a,b,c müssen alle 0 sein. D.h. Es gibt keine Linearkombination der 3 Vektoren die 0 ergibt.
qed. {u+v, u - v, u +w} sind linear unabhängig

Comments

In Teilaufgabe b hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen

"(u+v) - (v+w) = u-v ist eine Linearkomb. der ersten beiden Vektoren, die den dritten ergibt. D.h. die 3 Vektoren sind lin. abh. qed."

Du meinst sicherlich:

"(u+v) - (v+w) = u-w ist eine Linearkomb. der ersten beiden Vektoren, die den dritten ergibt. D.h. die 3 Vektoren sind lin. abh. qed."