Gegeben sei das Polynom P(x) = x^5 + 2x^3 - x^2 - 2. I = [-2,2]. P stetig, beschränkt? Ex. Max…?

Question

1. Gegeben sei das Polynom \( P \) mit
$$ P(x)=x^{5}+2 x^{3}-x^{2}-2 $$
und das abgeschlossene Intervall \( I=[-2,2] \)
Beantworten Sie folgenden Fragen und begründen jeweils Sie Ihre Antwort:
a) Ist \( P \) stetig auf \( I ? \)
b) Ist \( P \) auf \( I \) beschränkt?
c) Besitzt \( P \) auf \( I \) ein Maximum bzw. ein Minimum?
d) Zeigen Sie, dass \( P \) in \( [-2,2] \) mindestens eine Nullstelle besitzt.

2. Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R} \) definiert mittels
$$ f(x)=\frac{4 x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\cos (\pi x)-x $$
auf dem Intervall \( [-1,1] \) eine Nullstelle, ein Maximum und ein Minimum hat.

Comments

Tipp zu 1d)

Falls du eine Stelle findest mit f(x) > 0 und eine andere mit f(x) < 0 , hast du gezeigt, dass es eine Nullstelle gibt, da f(x) stetig ist. (Verwendet einen sog. 'Zwischenwertsatz')

a), b) P ist im verlangten Intervall stetig und beschränkt. Grund: P(x) ist ein Polynom und der Bereich [-2,2] ist ein beschränktes Intervall.

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a und b sind wohl recht leicht zu beantworten.

bei c und d sind zwar nicht die Werte gefragt, ohne Ausrechnung derselben wüßte
ich allerdings nicht wie die Fragen zu bentworten wären. Mit einem CAS-Programm
oder dem Plotten der Funktion geht´s relativ flott.

  Gehört b.) auch noch mit zur Frage ? Hier gilt für mich dasselbe wie zuvor gesagt.

  mfg Georg

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b) gehört auch noch mit. Was meinst du mit CAS-Programm oder dem Plotten der Funktion?

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Eigentlich sind dies normale Kurvendiskussionsaufgaben bloß muss viel gerechnet werden z.B. mit dem Newtonschen Nährungsverfahren usw.

Diese Arbeit kann man sich durch ein Einsatz eines

- CAS Computerprogramms ersparen. Diese Programme beherrschen
Diff- und Integralrechnung usw und enthalten auch die Möglichkeit eine
Grafik anzufertigen ( Funktionsplotter ).

Hier im Forum gibt es auch einen Funktionsplotter und ein CAS-Programm (online) Wolfram.

Da ich selbst ein CAS-Programm besitze ( MUPad ) habe ich für dich die Aufgaben berechnet und in eine PDF-Datei verwandelt.

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wie kann man die stetigkeit beweisen?

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Der Champion sagt ( siehe unterste Antwort )
a) Alle Polynome sind auf ganz ℝ stetig.

Irgendwelche Divisionen durch null, Wurzeln, Logarithmen oder trigonometrische
Funktionen kommen nicht vor.

mfg Georg

Answer 1

c)

P(x) = x^5 + 2·x^3 - x^2 - 2

P'(x) = 5·x^4 + 6·x^2 - 2·x = x·(5·x^3 + 6·x - 2)

x = 0 und x = 0.3087957084

P(-2) = -54 globales Minimum
P(0) = -2 lokales Maximum
P(0.3087957084) = -2.033656753 lokales Minimum
P(2) = 42 globales Maximum

d) 

Da P(-2) < 0 und P(2) > 0 haben wir für eine Stetige Funktion mindestens eine Nullstelle in dem Bereich.

Comments

Du hast die p-q-Formel angewendet bei der 1. Ableitung oder?

 

Ein globales Maximum ist der größte Wert aus dem Wertebereich. 
Einl lokales Maximum ist maximal in einer Umgebung, die im Def-bereich liegt.

Ein lokales Maximum kann auch ein globales sein. Stimmt doch oder?

 

Und wie zeige ich bei d) dass es eine Nullstelle gibt außer deiner Begründung?

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Wie kommst du auf die 2. Nullstelle? Also warum ist 5x^3+6x-2=0 also durch raten ja wohl nicht oder?

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Du kannst ein Näherungsverfahren deiner Wahl benutzen oder zur Abschätzung auch die nächste Ableitung.

Als Näherungsverfahren kommen das Intervallschachtelungsverfahren oder das Newtonverfahren meistens zur Anwendung.

Answer 2

a) Alle Polynome sind auf ganz ℝ stetig.

b) I ist kompakt und P ist stetig also P(I) kompakt, insbesondere beschränkt.

c) jede beschränkte Menge hat ein Maximum und Minimum (es ist also vollkommen unnötig diese auszurechnen)

d) Zwischenwertsatz wie in den Kommentaren bereits angesprochen

2.f ist stetig (als Summe stetiger Funktionen, die erste ist stetig, da der Nenner keine Nullstellen hat) also kann man wieder den zwischenwertsatz anwenden und da das Intervall wieder kompakt auch die Argumentation aus 1c)