Ungleichung mit Fakultät zeigen ohne sie induktiv zu beweisen? 1/k! ≤ 1/2^(k-1)

Question

Aufgabe:

Für n Element der natürlichen Zahlen und k=1,...,n


Problem/Ansatz:

Hat jemand von euch eine Ahnung wie man diese Ungleichheit zeigen kann ohne es induktiv zu beweisen?
\( \frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2^{k-1}} \)

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{\Leftrightarrow}\quad\frac{1}{k!}\le\frac{1}{2^{k-1}}$$$$\Leftrightarrow\quad k!\ge2^{k-1}$$$$\Leftrightarrow\quad \underbrace{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots k}_{k\text{ Faktoren}}\ge\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}_{(k-1)\text{ Faktoren}}$$$$\Leftrightarrow\quad \underbrace{2\cdot3\cdot4\cdots k}_{(k-1)\text{ Faktoren}}\ge\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}_{(k-1)\text{ Faktoren}}\quad\checkmark$$Sicherheitshalber noch dazu schreiben, dass die Aussage auch für \(k=1\) auch gilt.

Comments

Hi,

Wären (k-1) Faktoren nicht (k-1)! auf der linken Seite?

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Aloha :)

\(k!\) sind ja genau k Faktoren, von 1 bis k. Aber die 1 als Faktor ändert das Ergebnis der Multiplikation ja nicht, hat sozusagen keine Wirkung. Daher kann sie weggelassen werden und links stehen (k-1) "wirksame" Faktoren.

Wenn links und rechts die gleiche Anzahl an Faktoren steht, kann man einfach und schnell sehen, dass die linke Seite größer oder gleich der rechten Seite ist.

Answer 2

Beweis durch vollständige Induktion.

Beweise zunächst den Hilfssatz \( \frac{1}{k+1} \) ≤ \( \frac{1}{2} \) für k=1,2,3,...

Wähle dann die zu beweisende Ungleichung als Induktionsvoraussetzung und multiplziere damit die Ungleichung aus dem Hilfssatz. Das wird der Induktionsschluss.

Answer 3

Die Aussage ist äquivalent zu

\(2^{k-1}\le k!\)

Wenn ich bei k! die 1 weglasse, haben beide Terme k-1 Faktoren.

Es gilt \(\quad 2\le2 \quad ;\quad 2<3 \quad ;\quad 2<4\quad ; \quad \ldots\)

Deshalb gilt

\(2\cdot 2\cdot 2\cdot\ldots\cdot 2 \le 2\cdot 3\cdot 4 \cdot\ldots \cdot k\quad \)