Matrizen bestimmen (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Matrizen X ∈ Mat_3,2 (ℂ) mit:

$\begin{pmatrix} 1 & -i & 1 \\ i & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$   •   X  = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Offensichtlich muss hier eine Matrix Mat_3,2 gefunden werden. Ich habe versucht, das Problem mit Gleichungen zu Lösen, also: (1*x) + (-i * x) + (1 * x) = 1

etc.

Jedoch ohne Erfolg.

Wäre sehr dankbar um einen Lösungsansatz!

Mfg

Answer 1

Aloha :)

Die erste Spalte von $X$ erhältst du als Lösung von$$\left(\begin{array}{c}1 & -i & 1\\i & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_{11}\\x_{21}\\x_{31}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-i\\0\end{array}\right)$$Die zweite Spalte von $X$ erhältst du als Lösung von$$\left(\begin{array}{c}1 & -i & 1\\i & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_{12}\\x_{22}\\x_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\i\\1\end{array}\right)$$Als Lösung solltest du Folgendes erhalten:$$X=\left(\begin{array}{c}\frac{1-3i}{2} & 1+\frac{i}{2}\\-\frac{1+i}{2} & \frac{1}{2}\\1+i&0\end{array}\right)$$

Hier die Rechenschritte im Detail. Verwendet wird das Gauß-Verfahren:

$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\i & 1 & -1 &|&-i &//\cdot i\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\-1 & i & -i &|&1 &//+Gl(1)\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\0 & 0 & 1-i &|&2 &//:(1-i)\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$Nebenrechnung: $\frac{2}{1-i}=\frac{1+1}{1-i}=\frac{1-i^2}{1-i}=\frac{(1+i)(1-i)}{1-i}=1+i$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &//-Gl(2)\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 2 & 1 &|&0 &//-Gl(2)\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 0 &|& -i &\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 2 & 0 &|&-1-i &// :2\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 0 &|& -i &//+i\cdot Gl(3)\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 1 & 0 &|&-\frac{1+i}{2} & \end{array}$$Nebenrechnung: $-i+i\cdot\left(-\frac{1+i}{2}\right)=-i-\frac{i+i^2}{2}=-i-\frac{i-1}{2}=\frac{-2i}{2}+\frac{1-i}{2}=\frac{1-3i}{2}$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & 0 & 0 &|& \frac{1-3i}{2} &\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 1 & 0 &|&-\frac{1+i}{2} & \end{array}$$Diese Ergebnisse findest du in der ersten Spalte der Lösungsmatrix $X$ wieder.

Jetzt so ähnlich nochmal für die 2-te Spalte der Lösungsmatrix $X$:
$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\i & 1 & -1 &|&i &//\cdot i\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\-1 & i & -i &|&-1 &//+Gl(1)\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\0 & 0 & 1-i &|&0 &//:(1-i)\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &//-Gl(2)\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 2 & 1 &|&1 &//-Gl(2)\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 0 &|& 1 &\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 2 & 0 &|&1 &//:2\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 0 &|& 1 &//+i\cdot Gl(3)\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 1 & 0 &|&\frac{1}{2} &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & 0 & 0 &|& 1+\frac{i}{2} &\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 1 & 0 &|&\frac{1}{2} &\end{array}$$

Ich hoffe, dass du nun alles verstanden hast. Falls nicht, frag einfach nochmal nach.

Comments

Alles klar, danke für die Antwort!

Wäre es möglich, dass du mir noch die genauen Rechenschritte erklärst?

Muss man nun die erste Zeile der Matrix (1  -i  1) mit x₁₁ multiplizieren?

dh.: (1*x) +(-i*x)+(1*x) = 1   ?
wenn ich es so rechne, komme ich auf x = 1/2i

du kommst allerdings auf 1-3i/2

Wäre super, wenn du das erläutern könntest. !

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Mach ich gleich noch, muss jetzt aber erstmal zum Sport...

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So, auf den besonderen Wunsch habe ich die Detail-Rechnungen oben in der Antwort ergänzt ;)

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Vielen Dank!!!!