Zeigen Sie, dass 9 | (10^n)-1 für alle n∈ℕ≥1

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass 9 | 10ⁿ -1 für alle n∈ℕ≥1

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie genau ich es zeigen soll.

Mir ist bewusst, dass 10ⁿ immer eine "1 mit Nullen" ist (unmathematisch gesprochen). Und wenn ich davon 1 abziehe, dann ist es immer eine Zahl, die nur aus 9en (also der Ziffer besteht), sprich 9; 99; 999; 9999;...

Und die ist natürlich immer durch 9 teilbar. Wie eben auch die Quersumme (wobei ich nicht glaube, dass ich diese Regel mit der Quersumme einfach voraussetzen darf).

Aber wie genau kann man das denn zeigen?

Freue mich über Tipps!

Answer 1

Falls du mit Zahlentheorie vertraut bist: Beweise, dass \(10^n\equiv 1 mod 9\) gilt und demmzufolge auch  \(10^n-1\equiv 0 mod 9\) gilt.

Wenn nicht: Führe einen Induktionsbeweis.

Answer 2

geht leicht per Induktion. Ich mache hier nur den Induktionsschritt:

10^{n+1}-1 =10*10^n -1

=9*10^n +(10^n -1)

Beide Summanden sind durch 9 teilbar.