geht hier l'Hospital nicht?

Question

HI,

irgendwie komme ich bei dieser Grenzwertberechnung nicht weiter, habe es schon mit der Regel von l'Hospital versucht, aber leider hat es nicht geklappt. Wisst ihr vielleicht wie diese Aufgabe funktioniert?

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-cos(4x)}{sin(x^2)}$$

VG:)

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Answer 1

Wende auf den l'Hospital erneut l'Hospital an.

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Hi, danke für deine Antwort:)

Habe das auch schon versucht, aber dadurch kann ich dann doch auch nichts wegkürzen oder?

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Es geht nicht darum, etwas wegzukürzen.

Es geht darum, den Grenzwert leichter ausrechnen zu können. Das heißt idealerweise, einfach für x eine 0 einzusetzen. Das geht bei der ersten Anwendung von l'Hospital nicht, wegen dem 2x cos(x²) = 0 im Nenner und dem 4 sin(4x) = 0 im Zähler. Nach der zweiten Anwendung geht es aber.

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Genauer gesagt:

Die zweite Ableitung des Zählers ist bei 0 stetig. Der Grenzwert der zweiten Ableitung des Zählers stimmt also bei 0 mit dem Funktionwert der zweiten Ableitung überein.

Die zweite Ableitung des Nenners ist bei 0 stetig. Der Grenzwert der zweiten Ableitung des Nenners stimmt also bei 0 mit dem Funktionwert der zweiten Ableitung überein. Außerdem ist dieser Wert nicht 0.

Laut Rechenregeln für Grenzwerte ist der Grenzwert des Quotienten dann gleich dem Quotienten der Grenzwerte.

Answer 2

Du bekommst 2 Mal 0/0

----->2 mal Zähler und Nenner ableiten.

Ergebnis ist 8

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Vielen vielen Dank:) Das ist unfassbar nett, dass du das extra aufgeschrieben hast

Habe aber ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden, wie du bei der vorletzten Zeile auf die Ableitung des Nenners kommst.

Müsste das nicht eigentlich

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{16cos(4x)}{-4x^2 sin(x^2)}$$

Wie bekommst du das den Cos rein?

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Wie bekommst du das den Cos rein?

Produktregel.

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Omg, ja klar. Habe es jetzt verstanden. war eine ziemlich dumme Frage.... Aber vielen dank, dass du trotzdem geantwortest hast:)