Vereinfachung von komplexen Zahlen in die Form: x+iy

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen moglichst vereinfacht in der Form x+iy
mit x;y ∈ ℝ dar:

iⁿ (für n∈ℤ)

Problem/Ansatz:

Ich komme sowohl mit der Exponentialschreibweise als auch mit dem Satz von Moivre nicht voran, sofern es mir überhaupt weiterhilft.

Mir fehlt die Idee für eine Schreibweise für allgemeine n.

Spielt es eine Rolle zu wissen, dass i für ungerade Potenzen -1 und für gerade Potenzen 1 ist?

Wie ließe sich es aufschreiben.

Ich bedanke mich für jede Hilfe!

Answer 1

n	-3	-2	-1	0	1
in	i	-1	-i	1	i

und in dieser Weise in beiden Richtungen der Tabelle weiter.

Answer 2

Aloha :)

Mittels der Euler'schen Identität \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi\) geht das recht gut:

$$i^n=(\underbrace{\cos(\pi/2)}_{=0}+i\cdot\underbrace{\sin(\pi/2)}_{=1})^n=(e^{i\,\pi/2})^n=e^{i\,n\pi/2}=\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$