Integration durch Substitution

Question

 ∫\( \frac{ln(x)}{x} \)

Wie gehe ich da am besten vor? Zuerst muss ich ja die Substitutionsgleichung aufstellen, aber nehme ich denn jetzt das was im Nenner oder im Zähler steht? Habe beides ausprobiert, aber komme zu keinem richtigen Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Substituiere wie folgt:$$u(x):=\ln(x)\;\;\Rightarrow\;\;\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\;\;\Rightarrow\;\;dx=x\,du$$$$\int\frac{\ln(x)}{x}dx=\int\frac{u}{x}\,x\,du=\int u\,du=\frac{1}{2}u^2+\text{const}=\frac{1}{2}\ln^2(x)+\text{const}$$

Answer 2

∫ 1/x * ln(x) dx

   Subst.
   z = ln(x)
   1 dz = 1/x dx
   dx = x dz

= ∫ 1/x * z * x dz

= ∫ z dz

= 1/2 * z^2 + c

   Resubst.

= 1/2 * (ln(x))^2 + c

Answer 3

Für die Aufgabe musst du den Zähler also ln(x) substituieren.

u = ln(x)

\( \frac{du}{dx} \) = \( \frac{1}{x} \)

dx = x du also hast du jetzt das integral von u:  \( \int\limits_{}^{} \) u du

Damit kannst du leicht weiter rechnen also die Potenzregel anwenden, dann bekommst du:  \( \frac{u^2}{2} \)

Wenn du rück substituierst bekommst du : \( \frac{ln(x)^2}{2} \)  + C raus.

ich wünschte ich hätte auch so eine Aufgabe :(

Answer 4

substituiere

z=ln(x)

dz/dx= 1/x

dx=x dz

------->

=∫z *dz

=z^2/2 +C

=ln^2(x) /2  +C