linear unabhängigkeit

Question

Es seien V ein Vektorraum über dem Körper K und v1, . . . , vn, w ∈ V . Zeigen Sie:
i) Sind v1, . . . , vn linear unabhängig und v1, . . . , vn, w linear abhängig, so lässt sich w als
Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vn schreiben.
ii) Sind v1, . . . , vn linear unabhängig mit der Eigenschaft, dass v1, . . . , vn, w linear abhängig
sind für alle Vektoren w ∈ V , so bildet die Menge {v1, . . . , vn} ein Erzeugendensystem von
V (und damit eine Basis von V ).

Wäre nett und echt cool wenn das jemand lösen könnte :D

Answer 1

zu i)

Seien a₁, ..., a_n, a_w ∈ K, so dass

        Σ_i=1..n a_i·v_i + a_w·w = 0

ist und mindestens einer der Koeffizienten ≠ 0 ist. Begründe, dass dann w = 0 oder a_w ≠ 0 ist und forme nach w um.

zu ii) Laut i) kann dann jedes v ∈ V als Linearkombination der v_i dargestellt werden.

Answer 2

a1 v1+…+an vn=o  -->  alle ai=0 ist die einzige Lösung, da v1,…,vn lin. unabh.

b1 v1+…+bn vn + c w=o

Wenn c=0 die einzige Lösung wäre, wären v1,…vn und w lin. unabh.

Es muss also eine Lösung geben, bei der c≠0 ist.

-c w = b1 v1+…+bn vn

Dividiere durch -c und du hast w als Linearkombination von v1, … , vn