Entscheiden ob z.B. Schnittmengen von Äquivalenzrelationen reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind

Question

Aufgabe:

Es seien $$R1, R2 \subseteq M \times M$$zwei Äquivalenzrelationen über der Menge M.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Relationen ebenfalls reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind und ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt.

Geben Sie zu jeder Aussage jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.

a) $$R1 \cap R2$$

b) $$R1 \cup R2$$

Problem/Ansatz:

Ich wüsste nicht wie ich ohne wirkliche Angabe einer Menge beweisen soll welche Eigenschaften auf die Relationen zutreffen. Ich weiß was das kartesische Produkt ist und ich kenne die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen aber wie genau beweise ich denn die oben stehenden Aufgaben?

Answer 1

ob Äquivalenzrelationen reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind

Das ist einfach. Äquivalenzrelationen sind immer reflexiv, symmetrisch und transitiv. Das ist so definiert.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Relationen ebenfalls reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind

Das ist nicht mehr so einfach.

a) R₁ ∩ R₂. Das ist eine Äquivalenzrelation, wenn R₁ und R₂ solche sind.

Zum Beispiel Transitivität: Seien (a, b), (b, c) ∈ R₁ ∩ R₂. Dann ist

        (a, b) ∈ R₁ und (b, c) ∈ R₁. Also ist (a, c) ∈ R₁ weil R₁ transitiv ist.

        (a, b) ∈ R₂ und (b, c) ∈ R₂. Also ist (a, c) ∈ R₂ weil R₂ transitiv ist.

Also ist (a, c) ∈ R₁ ∩ R₂.

Beweise noch die anderen Anforderungen an Äquivalenzrelationen.

b) R1 ∪ R2. Das ist keine, weil Transitivität verletzt werden kann. Sei dazu (a, b) ∈ R₁\R₂ und (b,c) ∈ R₂\R₁.

wie ich ohne wirkliche Angabe einer Menge beweisen soll welche Eigenschaften auf die Relationen zutreffen

Für den Beweis der Transitivität bei a) habe ich mir einfach zwei Elemente der Menge genommen, denen Namen gegeben und dann Anhand der Eigenschaften von R₁ und R₂ Schlussfolgerungen gezogen.

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung! Woher genau weiß ich denn welche Elemente beispielsweise in der Schnittmenge / Vereinigungsmenge sind? Kann mir das so abstrakt nicht vorstellen.

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In der Schnittmenge sind die Elemente, die sowohl in R₁, als auch in R₂ sind.

In der Vereinigungsmenge sind sowohl die Elemente in R₁, als auch die in R₂.

Kann mir das so abstrakt nicht vorstellen.

Schau dir die zugehörigen Venn-Diagramme an.