Aloha :)
Betrachte \(n\) positive reelle Zahlen \(x_i\in\mathbb{R}^{>0}\) und zeige zuerst, dass ihr Produkt kleiner gleich ihrem Mittelwert hoch \(n\) ist, also formal:$$\prod\limits_{i=1}^nx_i\le\left(\overline x\right)^n\quad;\quad\overline x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$$Mit er Ungleichung \(e^x\ge1+x\) ist klar, dass:$$e^{x_i/\overline x-1}\ge1+\left(\frac{x_i}{\overline x}-1\right)=\frac{x_i}{\overline x}$$Multiplizieren wir diese für alle \(n\) Zahlen \(x_i\), erhalten wir:
$$\prod\limits_{i=1}^ne^{x_i/\overline x-1}\ge\prod\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{\overline x}=\frac{1}{(\overline x)^n}\prod\limits_{i=1}^n x_i$$Anstatt die e-Funktionen links zu multiplizieren, können wir auch die Exponenten addieren:
$$e^{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i/\overline x-1\right)}=e^{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i/\overline x\right)-n}=e^{\frac{1}{\overline x}\sum\limits_{i=1}^nx_i-n}=e^{\frac{1}{\overline x}\cdot n\cdot\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)-n}=e^{\frac{1}{\overline x}\cdot n\cdot\overline x-n}=e^{n-n}=1$$$$\Rightarrow\quad1\ge\frac{1}{(\overline x)^n}\prod\limits_{i=1}^n x_i\quad\Rightarrow\quad\prod\limits_{i=1}^nx_i\le\left(\overline x\right)^n\quad\checkmark$$Zum Beweis des Grenzwertes von \(\sqrt[n]{n}\) ziehen wir daraus auf beiden Seiten die n-te Wurzel und erhalten:
$$\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}\le\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$Damit sind wir quasi fertig:$$1=\sqrt[n]{1}\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot1\cdot1\cdots1}\le\frac{\sqrt n+\sqrt n+(n-2)}{n}$$$$\phantom{1}=\frac{2}{\sqrt n}+1-\frac{2}{n}\to1$$
