Aloha :)
Der Exponent muss nicht \(2\), sondern \(n\) lauten, damit die Folge für \(n\to\infty\) gegen \(e^2\) kovergiert:$$\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n}=\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n}=\underbrace{\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}_{\to1}\underbrace{\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n-1}}_{\to e^2}\to e^2$$Warum konvergiert die hintere Klammer gegen \(e^2\)? Dazu betrachten wir \(e^x\). Das können wir für alle \(n\in\mathbb N\) wie folgt schreiben:$$e^x=e^{nx/n}=\left(e^{x/n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{x/n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$Mit wachsendem \(n\) wird \(\frac{x}{n}\) immer kleiner, sodass wir im Limes die Funktion \(e^{x/n}\) durch ihre Tangente \(1+\frac{x}{n}\) bei \(\frac{x}{n}\approx0\) ersetzen können. Der Vergleich mit oben liefert \(x=2\) und damit den Grenzwert \(e^2\).
