Grenzwert berechnung e funktion

Question

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\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^{2}}\right)^{n} \)

Ansatz:

(1+\( \frac{n+1}{n^2} \) ) ⁿ   

e^{ln((1+\( \frac{n+1}{n^2} \))*n}

^{und dann den Limes anwenden dann komme ich auch e^0*inf kann das richtig sein}

Answer 1

Der Term \( \left(1+\frac{n+1}{n^{2}}\right)^{n} \) liegt zwischen \( \left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)^{n} \) und \( \left(1+\frac{n+1}{n^{2}-1}\right)^{n} \), also zwischen \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) und \( \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n} \).

Comments

Jetz wo du es sagst eigentlich super einfach...

hatte an den sandwich garnicht gedacht

Answer 2

lim (n → ∞) EXP(LN((1 + (n + 1)/n^2)^n))

lim (n → ∞) EXP(n * LN(1 + (n + 1)/n^2))

Betrachtung des Grenzwertes vom Expontenten

lim (n → ∞) n * LN(1 + (n + 1)/n^2)

lim (n → ∞) LN(1 + (n + 1)/n^2) / (1/n)

L'Hospital

lim (n → ∞) (- (n + 2)/(n·(n^2 + n + 1))) / (- 1/n^2)

lim (n → ∞) (n^2 + 2·n) / (n^2 + n + 1) = 1

Jetzt mit der e-Funktion

lim (n → ∞) EXP(n * LN(1 + (n + 1)/n^2)) = e

Der Grenzwert ist also e

Skizze

~plot~ exp(ln((1+(x+1)/x^2)^x));[[0|10|-1|4]] ~plot~

Answer 3

Es gibt verschiedene Wege, diesen Grenzwert zu berechnen.

Eine oft benutzte Tasache ist die folgende:

Sei \(x_n\) eine Nullfolge. Dann gilt: \(\lim_{n\to\infty}(1+x_n)^{\frac 1{x_n}}=e\).

Damit lässt sich dein Grenzwert leicht berechnen, da \(\frac{n+1}{n^2}\) eine Nullfoge ist:

$$\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^n = \left(\underbrace{\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}e}\right)^{\underbrace{\frac{n+1}{n^2}\cdot n}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1}}$$