Grenzwert bestimmen: lim(x->0) x^(3sqrt(x)) . Muss Aufgabe mit e umstellen

Question

lim(x->0) x^(3sqrt(x))

ich muss ja mit e umstellen, das weiss ich sogar, nur weiss icht leider nicht mehr genau wie

x* e^ln(3sqrt()x) so?^^

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich mir überlege, dass \(0^{3\sqrt x}=0\) ist für alle \(x>0\) und dass \(x^{3\sqrt0}=1\) ist für alle \(x>0\), sehe ich nicht, wie man \(0^{3\sqrt0}\) bzw. \(\lim\limits_{x\to0}(x^{3\sqrt x})\) eindeutig definieren kann.

Wikipedia definiert \(a^x:=e^{x\ln(a)}\) auch nur für \(a>0\), sodass die Umformung \(x^{3\sqrt x}=e^{3\sqrt x\,\ln(x)}\) nur für \(x>0\) gilt. Auch hier wäre ich daher sehr vorsichtig, den Grenzwert für \(x\to0\) auf Basis dieser Umformung auf 1 zu setzen.

Ich würde als Antwort "nicht definiert" angeben mit Verweis darauf, dass \(0^x=0\) und \(x^0=1\) für \(x>0\), sodass \(0^0\) nicht wirklich definiert werden kann. Oder habt ihr in der Vorlesung explizit \(0^0:=1\) festgelegt?

Answer 2

x^(3sqrt(x))  = y

==>  (3sqrt(x)*ln(x) = ln(y)

==>  e^(3sqrt(x)*ln(x)) = y

Und 3sqrt(x)*ln(x)  geht für x gegen 0 auch gegen 0,

also Grenzwert e^0 = 1 .

Comments

3sqrt(x)*ln(x)  geht für x gegen 0 auch gegen 0

Ln(0) ist doch nicht definiert?

Und warum auch?

Vielen Dank

Könnte man ab hier mit l.hosp. arbeiten?

---

3sqrt(x)*ln(x)

Könnte man ja

Sqrt(ln(x)/1/x) aufschreiben oder?

Umd dann nach l.hodp. ableiten.

1/x × (-1/x^(2))

Zsm fassen und dann wieder ableiten??

---

3sqrt(x)*ln(x)

= (x)^(1/3)*ln(x)

= ln(x) /   (x)^(-1/3)

Grenzwerttyp  "minus unendlich durch unendlich"

würde auch mit de Hosptal gehen. Gibt

(1/x)  /  ( (-1/3) * x^(-4/3) )

= -3 * x^(4/3)  /  x

= -3 * x^(1/3)

Auch hier ergibt sich:  Grenzwert 0, also

der ursprüngliche Grenzwert e^0 = 1.

Answer 3

setze sqrt(x)=z

damit bleibt

lim z---> 0 (z^2)^{3z}

=lim z--->0 (z^z)^6

und z^z strebt gegen 1 für z gegen 0.