Grenzwert gegen minus unendlich bei Wurzel Aufgabe

Question

Aufgabe:

$$ \lim\limits_{x\to-\infty}x\cdot(\sqrt{4x^2+1}- \sqrt{4x^2-1}) $$

Möchte davon den Grenzwert berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich habe mit der 3. Binomischen Formel versucht die Wurzeln weg zu kriegen, was auch passiert, jedoch erhalte ich dann im Zähler eine 0.

Laut WolframAplha soll der Grenzwert bei -1/2 liegen.

Ich wüsste nicht wie man darauf kommt.

Comments

Im Zähler muss 2x herauskommen. Im Nenner kannst du dann x ausklammern. Dann kannst du kürzen.

Answer 1

Hallo

 wenn du mit 3. binomischer Formel erweiterst, bekommst du im Zähler keine 0 sondern 4x^2+1-(4x^2-1)=4x^2-4x^2+1+1=2 also hast du wohl einfach keine Klammer geschrieben oder sie falsch aufgelöst.

Gruß lul

Answer 2

x·(√(4·x^2 + 1) - √(4·x^2 - 1))

= x·(√(4·x^2 + 1) - √(4·x^2 - 1))·(√(4·x^2 + 1) + √(4·x^2 - 1)) / (√(4·x^2 + 1) + √(4·x^2 - 1))

= x·((4·x^2 + 1) - (4·x^2 - 1)) / (√(4·x^2 + 1) + √(4·x^2 - 1))

= x·2 / (2·|x|·√(1 + 1/(4·x^2)) + 2·|x|·√(1 - 1/(4·x^2)))

= SGN(x) / (√(1 + 1/(4·x^2)) + √(1 - 1/(4·x^2)))

lim (x → -∞)

= -1 / (√(1 + 0) + √(1 - 0))

= -1 / (1 + 1)

= -1/2

Comments

Ich verstehe den Schritt zwischen

= x·2 / (2·|x|·√(1 + 1/(4·x2)) + 2·|x|·√(1 - 1/(4·x2)))

 und

= -1 / (√(1 + 1/(4·x2)) + √(1 - 1/(4·x2)))  nicht. 

Also erstes wird 2·|x| rausgestürzt mit x*2, aber woher kommt dann in der anderen Zeile auf einmal das -1 her im Zähler?

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Ich kürze da das x und die 2.

x/|x| = Das Vorzeichen von x.

Eigentlich hätte ich dort SGN(x) schreiben sollen statt -1. Ich mache das mal. Und erst später wenn ich tatsächlich den Grenzwert bilde dann SGN(x) durch -1 ersetzen.