Beweis einer Äquivalenzrelation auf X einer Fkt. F: X -> Y

Question

Aufgabe:

sei f: X -> Y eine Funktion und ≈ eine Äq. Relation auf Y

zu Beweisen: x~x' : ↔ f(x) ≈ f(x') eine Äq. Relation auf X ist. (Insbesonders für die Gleichheitsrelation y ≈ y' : ↔ y = y')

Problem/Ansatz:

Also das es sich um eine Äq. Relation handeln soll muss ich beweisen dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transistiv ist richtig?

Das hab ich mir so gedacht: es gilt: y ≈ y' : ↔ y = y' das bedeutet auch es gilt: x~x' : ↔ y ≈ y' (weil f(x) ja nix anderes als y ist)

da y = y' muss x = x' sein und da x~x' gilt x~x und damit ist die reflexivität bewiesen oder?

Zur Symmetrie: Die symmetrie ist ja im Prinzip schon durch diese Aussage: " x~x' : ↔ f(x) ≈ f(x') " bewiesen oder? xRf(x)  ↔ f(x)Rx wobei R für Relation steht

bzgl. Transitivität hab ich leider keine Ahnung wie ich das beweisen soll.

Nun meine Fragen:

Stimmen meine Ansätze bzgl. R und S? wenn nicht wie wäre das richtig zu beweisen und wie kann ich T nachweisen?

MFG &

Answer 1

Ich würde es eher so machen:

reflexiv heißt: Für alle x ∈ X gilt   x ~ x .

Das bedeutet    f(x) ≈ f(x)  . Und weil ≈ reflexiv ist, gilt das auch.

symmetrisch: Seien a,b aus X mit a~b.   Ist zu zeigen b~a.

a~b ==>  f(a) ≈ f(b) ==>  f(b) ≈ f(a)   [weil ≈ symmetrisch ist ]

                               ==>  b~a.

transitiv:  Seien   a,b,c aus X mit a~b ∧  b~c

==>    f(a) ≈ f(b)   ∧    f(b) ≈ f(c)

wegen der Transitivität von ≈ folgt    f(a) ≈ f(c)

                                 ==>     a ~ c .

Comments

Erstmal vielen Dank ich glaub mir ist jetzt einiges klarer geworden xD

jedoch hab ich noch eine Frage:

warum genau darf ich aus f(b) ≈ f(a) folgern das b ~ a steht?

wegen: x~x' : ↔ f(x) ≈ f(x') ?

mfg,

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warum genau darf ich aus f(b) ≈ f(a) folgern, dass b ~ a steht?

Weil das die Def. für b ~ a  ist.