Newton-Verfahren Weltbevölkerung berechnen

Question

Aufgabe:

Wenden Sie das Newton-Verfahren an, um das folgende Problem zu lösen: Die Funktion
b(x) = a/1−c·e^−d*x
mit a = 9.8606, c = −1.1085 × 1025 , d = 0.029 beschreibt näherungsweise die
Weltbevölkerung (in Milliarden Menschen) im Jahr x. Bestimmen Sie den Zeitpunkt x ,an
dem die Welt- bevölkerung die 9-Milliarden-Grenze übersteigt. Benutzen Sie als Startwert
x0 = 1961.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe bitte helfen? Ich weiß, dass ich ableiten muss und hier in die Formel dann einsetzen muss bneu = x – (b(x)/b‘(x)).Aber wie bestimme ich genau das Jahr?

Comments

Fehlen da Klammern bei der Funktion b?

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 Nein eigentlich nicht

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also doch :)

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Bei c meinst Du nicht 1025 sondern10²⁵ ?

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ja genau stimmt

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Die Antwort lautet jedenfalls Jahr 2069, so kannst Du Deine Lösung überprüfen.

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Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo

wenn du      bneu = x – (b(x)/b‘(x))

schreibst hast du anscheinend das Newtonverfahren nicht verstanden.

du willst wissen für welches x  b(x)=)*10^9 ist. also suchst du die Nullstelle   von f(x)=b(x)-9*10^9

das benutzt du die Newtoniteration die Nullstellen von Funktionen annähert  mit: x_n=x_n-1-f'(x_n-1)/f(x_n-1)

du bestimmst aus x_0=1961 ein x₁, daraus ein x₂ usw. bis du mit dem Ergebnis  zufrieden ist,  "genau" ist eine Näherungsrechnung nie, aber du willst das Jahr ja auch nicht auf Bruchteile von Jahren wissen.

wenn also  zB x5=x6 bis auf 1Jahr bist du fertig.

Gruß lul

Comments

Und wenn man das macht, schaut die Lösung so aus:

Schritt   x₀                    x₁                       f(x₁)
1           1961.000000   2058.058957    -0.298272
2           2058.058957   2068.116147    -0.031632
3           2068.116147   2069.460263    -0.000501

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Wobei man sich fragen kann, warum gerade bei einer Aufgabe die analytisch lösbar ist, der Newton verlangt wird. Aber das ist ein Problem, das der Aufgabensteller mit sich selber klären muss.