Präzedenz/Skopus von Quantoren und Implikationen

Question

Aufgabe:

X nichtleere Menge. A(x), B(x) Aussagen mit x ∈ X.

Wir sollen entscheiden, ob die gegebenen Aussagen wahr oder falsch sind. Z.B.

a)   (∀x∈X)(A(x) → B(x)) → (∀x∈X)(A(x) ∧ B(x) ↔ A(x))

b)   ((∀x∈X)A(x) → (∀x∈X)B(x)) → (∀x∈X)(A(x) → B(x))

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, mir mit Hilfe von Wahrheitstabellen erstmal einen Überblick zu verschaffen. Mir ist aber nicht klar, welchen Einfluss die Klammerungen nach ∀ haben.

Ich habe einmal alle Kombinationen von A(x) wahr/falsch und B(x) wahr/falsch angenommen und für einen "Durchgang" auch so belassen. Heißt für einmal alles auflösen, war A(x) z.B. immer wahr. Ist das richtig so, oder brauche ich für jedes (∀x∈X) eine neue Wahrheitstabelle um alle Möglichkeiten auszuprobieren?

Comments

Hallo Michi, mir sind die Quantoren in diesem Zusammenhang auch rätselhaft.  Aber wenn du möchtest, kann ich mir deine Lösungstabelle mit A wahr/falsch und B wahr/falsch mal ansehen.  Ob da alles stimmt.  Dann hätten wir wenigstens das schon mal.

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mir sind die Quantoren in diesem Zusammenhang auch rätselhaft

Aber um die geht es doch gerade !

Mal ein Beispiel für aufstrebende Jung-Mathematiker :
X sind die 30 Mitglieder eines Kegelclubs, der fürs Wochenende einen Ausflug geplant hat.
Wenn alle mitfahren, bekommt jeder den Vorzugspreis von 50€ (im Gegensatz zum Normalpreis von 60€, der pro Person gezahlt werden muss, wenn die Mindestanzahl von 25 Leuten für die Inanspruchnahme des Gruppenpreises nicht erreicht wird.)
Kein einzelner Kegelbruder kann sich aber darauf verlassen, nur 50€ zahlen zu müssen (falls nämlich 7 Leute absagen).

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Gibt es eigentlich eine definierten Unterschied zwischen \(\implies\) und \(\iff\) sowie \(\to\) und \(\leftrightarrow\)?