Zeige, dass das einzige Ideal, das a,b teilerfremd enthält, der ganze Ring ist.

Question

Aufgabe:

Sei R ein Hauptidealring und seien a,b aus R, teilerfremd. Zeige, dass R das einzige Ideal von R ist, das a und b enthält.

Problem/Ansatz:

Teilerfremd bedeutet nach Definition, dass ggT(a,b) eine Einheit ist.

Dass R ein Hauptidealring ist, stellt sicher, dass es so einen ggT gibt.

Dass R ein Hauptidealring ist, bedeutet weiter, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Ein Hauptideal J haben wir so definiert: es gibt ein x aus R mit x*R=J

Aber ich komme mit den gegebenen Informationen nicht weiter.

a und b könnten alles mögliche sein... in Z beispielsweise könnte a=4 und b=9 sein

Also nichts mit prim, irreduzibel, usw... Bin über jeden Ansatz dankbar.

Answer 1

Teilerfremd bedeutet nach Definition, dass ggT(a,b) = e  eine Einheit ist.

Also gibt es x,y aus R mit   x*a + y*b = e    #

Dass R ein Hauptidealring ist, stellt sicher, dass es so einen ggT gibt.

Wenn also J ein Ideal ist, dass a und b enthält, dann enthält es wegen #

auch e.    Und wenn e' das Inverse von e ist (was es wegen "Einheit" ja gibt)

dann enthält J auch e*e' = 1. Und ein Ideal, das die 1 enthält,

ist der ganze Ring; denn für jedes x∈R gilt dann ja x*1 ∈ J.

Comments

hey cool danke für die Hilfe!

keine weiteren Fragen :)