Logarithmus Terme vereinfachen und zur Basis e bzw. 10 umwandeln

Question

Aufgabe:

Vereinfachen: $\frac{4}{9}\ln^{2}{d}-\frac{4}{3}\ln{d}+1$

Lösung: $\ln{\dfrac{\sqrt[3]{d^{2}}}{e}}^{2}$

Logarithmen in Logarithmen zur Basis e umwandeln:

f) $\log_{4}{7}$

g) $\log_{3}{e^{2}}$

h) $\lg{\frac{1}{e}}$

Lösung:

f) $\frac{\ln{7}}{\ln{4}}$

g) $\frac{2}{\ln{3}}$

h) $\frac{-1}{\ln{10}}$

Logarithmen in Logarithmen zur Basis 10 umwandeln:

f) $\ln{100}$

g) $\log_{4}{10x}$

h) $\log_{2}{20}$

Lösung:

f) $\frac{2}{\lg{e}}$

g) $\frac{1+\lg{x}}{\lg{4}}$

h) $\dfrac{1+\lg{2}}{\lg{2}}$

Problem/Ansatz:

Ich soll verschiedene Logarithmus Terme vereinfachen. Nur leider bekomme ich es bei den letzten Aufgaben einer Nummer einfach nicht hin. Ich habe zwar die Lösungen, aber ich verstehe nicht wie man dahin kommt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

$\frac{4}{9}\ln^2 d -\frac{4}{3}\ln d+1$    2. Binomische Formel

$=\left(\frac{2}{3}\ln d-1\right)^2$

$=\left(\frac{2}{3}\ln d-\ln e\right)^2$

$=\left(\ln d^{\frac{2}{3}}-\ln e\right)^2$

$=\left(\ln \dfrac{d^{\frac{2}{3}}}{e}\right)^2$

$=\left(\ln \dfrac{\sqrt[3]{d^2}}{e}\right)^2$

f) $x=\log_4 7$

   $4^x=7 ~~~~~~~ | \ln()$

   $\ln(4^x)= \ln 7$

   $x\ln(4)= \ln 7$

   $x=\dfrac{\ln 7}{\ln 4}$

  Allgemein: $\boxed{\log_b a = \dfrac{\ln a}{\ln b}}$

usw.

...

h) $\log_2 20 = \dfrac{\lg20}{\lg 2} =\dfrac{\lg(10\cdot 2)}{\lg 2}=\dfrac{\lg10+\lg2}{\lg 2}=\dfrac{1+\lg2}{\lg 2}$

Comments

Ah stimmt. Jetzt kann ich es nachvollziehen. Aber selbst würde ich so etwas nie erkennen. Dankeschön!

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Danke für die Rückmeldung.

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ok. Das verstehe ich auch. Ich versuche das mal mit den anderen und melde mich nochmal bei Problemen. Danke

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Danke. Hab alle Aufgaben lösen können. Ich kannte die Regel vorher nicht und wusste daher gar nicht wie ich hier vorgehen kann. Danke für deine Hilfe!