Kartesisches Produkt beweisen, falls wahr. Bsp. A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C)

Question

ich habe zwei Fragen, die ich nicht wirklich beantworten kann geschweige denn mathematisch beweisen.

Aufgabe: Wahr oder falsch, beweisen Sie mathematisch.

(1)  A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C)

(2)  P(A) × P(A) = P(A × A)

*P - Potenzmenge; × - Kartesisches Produkt; ∪ - Vereinigung

Es gab noch mehr von diesen Aufgaben, die ich gut beantworten konnte. Nur bei diesen beiden komm ich leider nicht weiter.

Ich würde mich über Ansätze und Hilfe sehr freuen.

Answer 1

(1)  A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C)

Gegenbeispiel in ℝ^3 genügt.

A sei die x-Achse, B die y-Achse und C die z-Achse.

BxC ist die yz-Ebene.

A ∪ (B × C)  ist die yz-Ebene vereinigt mit der x-Achse. Diese Punktmenge enthält z.B. den Punkt P(1|2|0) nicht. 

Aber: (A ∪ B) × (A ∪ C) enthält den Punkt P(1|2|0) , denn

Q(0|2|0) ∈(A ∪ B)

R(1|0|0) ∈ (A ∪ C)

Im kartesischen Produkt muss somit auch P(1|2|0) liegen.

Kontrolliere das mal, was ich hier gemacht habe.

Korrekt wäre übrigens ein anderes Rechengesetz. Vgl. https://www.mathelounge.de/276446/kartesisches-produkt-distributivgesetz-beweisen

Comments

Dankeschön!

Du hast nicht zufällig noch eine Ahnung wegen der Potenzmenge (2)?

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Dort hat man rechts eine Menge von Mengen aus Elementenpaaren.

Links dagegen eine Paarmenge, deren Pärchenteile wieder aus Mengen bestehen.

Das kann nicht unbedingt gut gehen. Versuche mal die Behauptung mit einem möglichst kleinen A zu widerlegen. Vielleicht genügt schon A = {1,2}.