Funktion f(x) = 1/8 x^4 - x^2 -9/8

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 1/8 x^4 - x^2 - 9/8

a) weißt der Graph von f eine Symmetrie auf?

b) wie bestimmt man die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen?

c) wie fertigt man mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) eine Skizze des Graphen an??

d) wie muss der Graph von f verschoben werden, damit er genau drei gemeinsame Punkte mit der x - Achse hat?

Ich war 2 Monate im Koma und habe den ganzen Schulstoff, den ich jetzt nach arbeiten muss, nicht mit bekommen, deswegen verstehe ich diesen jetzt nicht. Es wäre wirklich lieb wenn mir jemand helfen könnte...

LG

Answer 1

a) Achsensymmetrie zur y-Achse, da alle Exponenten von x gerade sind.

b) Den Schnittpunkt mit der y-Achse bekommst du mit x=0.

    f(0)=\(-\frac{9}{8}=-1,125\)

    P(0|-1,125)

    Für die Schnittpunkte mit der x-Achse setzt du f(x)=0.

    \(0=\frac{1}{8}x^4-x^2-\frac{9}{8}~~~~~~|\cdot 8\)

    \(0=x^4-8x^2-9~~~~~~| x^2=z~~;~~x^4=z^2\) substituieren

    \(0=z^2-8z-9~~~~~~~~| \)Lösungsformel

    \(z_{12}= 4 \pm\sqrt{16+9}\)
    \(z_{12}= 4 \pm 5 \)

    \(z_{1}= 9 ~~~; z_2=-1\)

    \(x=\pm\sqrt{z_1} \Rightarrow x_{12}=\pm 3 \Rightarrow N_1(-3|0) ; N_2(3|0)\)

    \(z_2=-1\) liefert keine Lösung.
   
c) Zeichne die drei gefundenen Punkte in ein Achsenkreuz und skizziere ein abgerundetes W, das durch die Punkte verläuft. Achte auf die Achsensymmetrie.

https://www.desmos.com/calculator/3rr78wjnqq

d) Für x=0 muss y=0 sein, damit das Maximum in der Mitte die x-Achse berührt. Also muss die Kurve um \(\frac{9}{8}\) Längeneinheiten nach oben verschoben werden.

Answer 2

b) Schnittpunkte mit der x-Achse. Ansatz: 1/8 x⁴ - x² - 9/8 =0    |·8

                                                                        x⁴ - 8x² - 9= 0

Substituiere x²=z. Dann ist z²-8z-9 = 0 zu lösen: z=9 oder z= - 1.

Die Resubstittution hat nur für z=9 reelle Lösungen x=±3.

(-3|0) und (3|0) sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.