Term mit komplexen Zahlen durch Umformen in reelle Zahl bringen.

Question

Aufgabe:

$$ \frac{i}{2} \cdot\left(e^{i x-y}+e^{-i x-y}\right)\left(e^{i x}-e^{-i x}\right) $$

Man soll diesen Term so umformen das keine komplexen Zahlen mehr vorhanden sind

Ansatz:

$$ \begin{array}{l}{\quad \frac{i}{2} \cdot\left(e^{i x-y}+e^{-ix-y}\right)\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)} \\ {=\frac{i}{2} \cdot\left[e^{ix-y} \cdot e^{i x}\right)-\left(e^{i x-y} \cdot e^{-i x}\right)+\left(e^{-ix-y} \cdot e^{i x}\right)\left(e^{-i x-yy} \cdot e^{-i x}\right]} \\ {=\frac{i}{2} \cdot\left[e^{i x-y+i x}-e^{i x-y-i x}+e^{i x-y+i x}-e^{-i x-y-i x}\right]}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{=\frac{i}{2} \cdot\left[e^{2 i x-y}-e^{-y}+e^{-y}-e^{-2 i x-y}\right]} \\ {=\frac{i}{2} \cdot\left[e^{2 i x-y}-e^{-2 ix-y}\right]}\end{array} $$

Ab hier komm ich leider nicht mehr weiter, da ich nicht weiß, was ich mit dem Ausdruck in der Klammer weiter anfangen soll bzw. wie ich das i/2 loswerde.

Answer 1

\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)

\(e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin(-x)=\cos x-i \sin x\)

\(e^{ix-y}=\dfrac{\cos x+i\sin x}{e^y}\)

\(e^{-ix-y}=\dfrac{\cos x-i\sin x}{e^y}\)

\(e^{ix-y}+e^{-ix-y}=\dfrac{2\cdot\cos x}{e^y}\)

\(e^{ix}-e^{-ix}=2\cdot i\sin x\)

Also

\(\dfrac{i}{2}\cdot(e^{ix-y}+e^{-ix-y})(e^{ix}-e^{-ix})=\dfrac{ - 2\cdot \cos x \sin x}{e^y}\)

PS: Hab's mit Wolframalpha kontrolliert.   :-)

Comments

Ok vielen dank!!

D.h aber theoretisch wenn ich ab hier (bei meiner Version)

$$ =\frac{i}{2} \cdot\left[e^{2 i x-y}-e^{-2 i x-y}\right] $$

mit den Definitionen von dir einsetzte müsste dasselbe rauskommen oder?

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Wenn du weißt, das sin(2x)=2sin(x)cos(x) gilt, kommt dasselbe raus.