Benötige Hilfe bei der Bestimmung der Menge aller Häufungswerte einer Folge

Question

Aufgabe:

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie jeweils Limes superior und Limes inferior, sowie die Menge aller Häufungswerte der Folgen. Ist an auch konvergent? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie ggf. den Grenzwert an.

(i) \( a_n=( \frac{1}{n+1} -1)^n (n \in \mathbb{N})\)

Problem/Ansatz:

Mir ist aufgefallen, dass sich das Vorzeichen bei geraden Zahlen positiv und bei ungeraden negativ ist. Den Grenzwert vermute ich bei 0.

Ich habe nun n=2k gesetzt:

(\( a_2k=( \frac{1}{2k+1} -1)^{2k}) = ( \frac{1}{2k+1} -\frac{2k+1}{2k+1})^{2k}) = ( \frac{1-2k+1}{2k+1} )^{2k})\).

Macht der Ansatz überhaupt Sinn und falls ja, wie komme ich bei der Aufgabe weiter..? Ich freue mich über jede Hilfe!

Answer 1

Mit folgender Umformung, siehst du recht schnell, wo die Häfungspunkte liegen:$$\left( \frac{1}{n+1} -1\right)^n =\left(\frac{1}{n+1}-\frac{n+1}{n+1}\right)^n=\left(-\frac{n}{n+1}\right)^n=(-1)^n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$ Für gerade \(n\) strebt \(a_n\to \frac{1}{e}\) für \(n\to \infty\) und für ungerade \(n\) gegeben \(- \frac{1}{e}\). Damit haben wir als Menge der Häufungspunkte \(H=\{- \frac{1}{e}, \frac{1}{e}\}\) und damit  \(\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=- \frac{1}{e}\) und \(\limsup\limits_{n\to\infty}a_n= \frac{1}{e}\).

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Jedoch verstehe ich dann nicht ganz, wieso ich dann beim Einsetzen (habe es in Wolframalpha gemacht) diese Werte rausbekomme? Das sieht nicht danach aus, als würde der Grenzwert bei 1 und -1 liegen, oder habe ich etwas falsch gemacht? Beim GW berechnen komme ich allerdings auch auf 1 und -1 wie du. 

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Das liegt daran, dass ich das \(^n\) komplett übersehen habe. Überarbeitet. Es gilt nämlich:$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{-1}\to \frac{1}{e}$$

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Danke. In meiner Rechnung bin ich jetzt auch auf \( \frac{1}{e} \) gekommen, allerdings schaffe ich es nicht (2k-1) eingesetzt, so umzuformen, dass ich am Ende \( \frac{-1}{e} \) als Grenzwert stehen habe.. Könntest du mir dabei noch helfen?

Answer 2

a_2k: lim n -> ∞ (1/(2n+1) - 1)^(2n) = 1/e 
a_2k+1: lim n -> ∞ (1/((2n+1)+1) - 1)^(2n +1) = -1/e

Die zwei Teilfolgen a_2k und a_2k+1 konvergieren gegen unterschiedliche Grenzwerte. Folglich ist (a_n) unbestimmt divergent.

Comments

Was ist den unbestimmt divergent?

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Bei Oszillation.

Answer 3

Hi,

die erste Antwort stimmt definitiv nicht. Es gilt

$$ a_n = \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right)^n = (-1)^n \frac{ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} }{1- \frac{1}{n+1}} $$ Beim Grenzübergang für \( n \to \infty \) geht der Zähler gegen \( e^{-1} \). Der Nenner gegen \( 0 \) und der Term \( (-1)^n \) ossizilliert zwischen \( +1 \) und \( -1 \)

Damit konvergiert die Folge nicht. Sondern das Infimum ist \( -e^{-1} \) und das Supremum ist \( e^{-1} \)

Comments

Der Nenner geht nicht gegen Null. Sicher, dass du Infimum und Supremum meinst?