\(f(x)=3+3\cos(2x)~~~;~~~ x \in [0,5 ; 3,5]\)
Eine Tangente verläuft waagerecht, wenn die erste Ableitung 0 ist.
Bei \(f(x)\) handelt es sich um eine verkettete Funktion.
Die innere Funktion ist \(u(x)=2x\) mit \(u'(x)=2\).
Die äußere Funktion ist \(g(u)=3+3\cos(u)\) mit \(g'(u)=-3\cdot \sin(u)\).
[cos(u) abgeleitet ergibt -sin(u). Der Faktor 3 bleibt erhalten, Der Summand 3 vor dem + fällt weg.]
Mit der Kettenregel "Äußere Ableitung mal innere Ableitung" erhalten wir
\(f'(x)=g'(u)\cdot u'(x)=-3\cdot\sin(2x)\cdot 2 = -6\sin(2x)\)
Für waagerechte Tangenten suchen wir die Nullstellen von \(f'\).
\(f'(x)=-6\sin(2x)=0 \Rightarrow \sin(2x)=0\)
Die Sinuskurve hat Nullstellen bei \(0; \pi; 2\pi; \ldots\).
Da wir den Sinus von \(2x\) betrachten, kann \(2x\) die genannten Werte annehmen.
Damit sind für \(x\) die halbierten Werte möglich.
Z.B. \(2x=\pi \Rightarrow x= \pi/2\) und \(2x=2\pi \Rightarrow x= \pi\)
[Das Zeichen π ist der griechische Buchstabe pi. π ≈ 3,1415926]
Da x zwischen 0 und 5 liegen soll, sind x1=π/2 ≈ 3,1415926/2 = 1.5707963 und x2=π ≈ 3,1415926 die gesuchten Lösungen.
Die Kurve sieht so aus:
Die gesuchten Punkte sind markiert.
