Question

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen, in denen a,b,c für beliebige natürliche Zahlen stehen:

(i)   Aus a ∣ b und b ∣ c und c ∣ a folgt a = b = c.

(ii)  Aus ggT(a,b) = 1 und ggT(b,c) = 1 folgt ggT(c,a) = 1.

(iii) Falls a < b < c gilt, dann ist mindestens eine der Zahlen a, b, c, a+b. b+c, c+a                      oder a+b+c durch 4 teilbar.

(iv) Unter vier beliebig ausgewählten ganzen Zahlen existieren immer zwei deren                       gemeinsame Differenz durch 3 teilbar ist.

(v) Auf dem Planeten Ypsilon besteht ein Jahr, wie bei uns, aus 365 Tagen, und auch            dort gibt es nur Monate mit 28, 30 oder 31 Tagen. Dann muss ein Jahr auf dem                 Planeten Yppsilon zwölf Monaten haben.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Aus ggT(a,b) = 1 und ggT(b,c) = 1 folgt ggT(c,a) = 1

Stichworte: ggt,transitiv

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen, in denen a,b,c für beliebige natürliche Zahlen stehen:

Aus ggT(a,b) = 1 und ggT(b,c) = 1 folgt ggT(c,a) = 1

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Vom Duplikat:

Titel: Unter vier beliebig ausgewählten ganzen Zahlen existieren immer zwei deren gemeinsame Differenz durch 3 teilbar ist.

Stichworte: reihen,folge,analysis,teilbarkeit,beweis

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen, in denen a,b,c für beliebige natürliche Zahlen stehen:

Unter vier beliebig ausgewählten ganzen Zahlen existieren immer zwei deren gemeinsame Differenz durch 3 teilbar ist.

Answer 1

(i) a|b , also x·a=b

    b|c  , also y·b=c

    c|a  , also z·c=a

Alle Variablen sind natürliche Zahlen.

a=z·c=z·y·b=z·y·x·a → z·y·x=1 → x=y=z=1 → Behauptung .//

(iii) a=1, b=5, c=9

     1+5=6

     1+9=10

     5+9= 14

     1+5+9=15

      Alle Zahlen sind nicht durch 4 teilbar.

Answer 2

Stichworte: ggt,transitiv

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen, in denen a,b,c für beliebige natürliche Zahlen stehen:

Aus ggT(a,b) = 1 und ggT(b,c) = 1 folgt ggT(c,a) = 1

Kontrolliere mal:

ggt(5,7) = 1, ggt(7,5) = 1, aber ggt(5,5) = 5 ≠ 1.

Answer 3

Unter vier beliebig ausgewählten ganzen Zahlen existieren immer zwei deren gemeinsame Differenz durch 3 teilbar ist.

Nach dem Dirchletschen Schubfachprinzip muss, wenn man 4 Gegenstände auf 3 Schubfächer verteilt, ein Schubfach mindestens 2  Gegenstände enthalten.

Die 4 Gegenstände sind hier die 4 Zahlen, und die 3 Schubfächer sind die möglichen Reste, die eine Zahl bei Teilung durch 3 lassen kann.