Matrizen, Symmetrie, Invertieren, Drehmatrix

Question

Aufgabe:

Nehmen Sie die 2x2 Matrix M mit den Einträgen m_ij= 4i−j. Ist diese Matrix symmetrisch? Was ist det(M)? (4). Invertieren Sie M. Lösen Sie det(M−λI) = 0.I ist dabei die nxn-Einheitsmatrix mit Einsen auf der Diagonalen, Nullen sonst. Sie bekommen zwei Werte für lambda (0.47 und 8.5). Finden Sie nun einen Vektor~v, für den M~v=λ1~v gilt. Erläutern Sie, was diese Matrix mit diesem speziellen Vektor macht. Wo liegt der Unterschied zu einer Drehmatrix O um 2π Radiant?

Problem/Ansatz:

Schönen guten Abend liebe Genossen, ich hätte eine Aufgabe, an der ich mir schon seit der letzten Klausur den Kopf zerbreche. Und zwar geht es um die oben aufgeführte Aufgabe. Zunächst verstehe ich die Symmetrie von Matrizen nicht, doch auch das Invertieren der Matrizen ist mir misslungen. Ich bin darauf gekommen, dass man den Vektor v mit dem Gauss-Jordan Verfahren möglicherweise herausfinden kann, doch ich schaffe es nicht die Matrix so umzuformen, damit ich auf den Einheitsmatrix komme. Ich bitte euch um Ansätze. Besten Dank!

Answer 1

Erst mal die Matrix aufstellen:

M=\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \)

Invertieren heißt, suche die Matrix M', so dass M'*M=E, die Einheitsmatrix, manchmal auch I geschrieben, also

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Stelle das LGS auf auf und löse es:

3a+7b=1

2a+6b=0 usw.

Dann M' hinschreiben!

det(M) = nur bei 2x2 Matrizen = a11d22 - a21a12 =3*6 - 2*7 = Hauptdiag minus Nebendiagonale =....

symm Matrix: Werte sind an der Hauptdiag gespiegelt. Ein Beispiel wäre:

\( \begin{pmatrix} a & 24 \\ 24 & d \end{pmatrix} \)

det(M−λI) = 0

einfach machen!

det(M−λE) 

= det  [ \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \) -  λ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)]

= det  [ \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \) -   \( \begin{pmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{pmatrix} \)]   reinmult!

= det   \( \begin{pmatrix} 3-λ & 2 \\ 7 & 6-λ \end{pmatrix} \)

= Hauptdiag minus Nebendiagonale

= (3-λ)(6-λ) - 2*7 = λ² ..... =0   quadr. Gleichung lösen