Beweisaufgabe mit Unterräumen V und W

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) ein Vektorraum mit \( \operatorname{dim} V<\infty \) und \( U \) ein Unterraum von \( V \). Man definiert
\( U^{\perp}=\left\{\varphi \in V^{\vee} \mid \varphi(u)=0 \text { für alle } u \in U\right\} \)

1. Seien \( U, W \) zwei Unterräume. Zeigen Sie, dass \( (U+W)^{\perp}=U^{\perp} \cap W^{\perp} \).

2. Sei \( E \subset V^{\vee} \) ein Unterraum, man definiert
\( E^{\perp}=\{v \in V \mid \varphi(v)=0 \text { für all } \varphi \in E\} \)

Answer 1

1.) U+W = {u∈V: u∈U, u∈W}

⇒ (U+W)^T = {φ∈V^v: φ(u) = 0 für alle u∈U und u∈W} = {φ∈V^v: φ(u) = 0 für alle u∈U}∩{φ∈V^v: φ(u) = 0 für alle u∈W}

Dieser Schritt folgt rein logisch: in der linken Menge liegen alle Elemente aus U, die in kern φ liegen, in der rechten alle Elemente aus W, die in kern φ liegen. Um alle Elemente aus kern φ zu erhalten, die sowohl in U als auch in W liegen, muss die Schnittmenge gebildet werden.

⇒ (U+W)^T = U^T∩W^T

 

2.) Hier steht gar keine Aufgabe.