Beweisaufgabe: Unterraum beweisen

Question

Hallo,

meine Aufgabe lautet:

Seien K ein Körper und V ein K-Vektorrraum und U₁,...,U_n Unterräume von V. Beweisen Sie, dass U₁∩...U_n ein Unterraum von V ist.

Due Bedingungen für einen Untervektorraum lauten ja:

1. U ist nicht die leere Menge

2. Seien v, w∈ U zwei Vektoren, so ist auch deren Summe also v+w ∈ U

3. Sei v∈ U und a eine reelle Zahl, so ist a×v ∈U.

Ich weiß nicht wie ich diese Bedingungen bei dieser Aufgabe anwenden muss.

Answer 1

1. U ist nicht die leere Menge, da jedes U_i den 0-Vektor enthält.

2. Seien v, w∈ U zwei Vektoren, so ist auch deren Summe also v+w ∈ U

v, w∈ U ==>   v, w´sind in jedem U_i ==>  Ihre Summe ist auch in jedem U_i
 =>  Die Summe liegt auch im Durchschnitt, also in U

3. Sei v∈ U und a eine reelle Zahl, so ist a×v ∈U. analog zu 2.

Comments

Also 3 wäre dann

a,v ∈ U ==> a, v sind in jedem U_i ==> Ihr Produkt, also a×v, ist dann auch in jedem U_i

, oder?

---

Nee nee, es heißt doch

Sei v∈ U und a eine reelle Zahl, so ist a×v ∈U.

Also wenn ∈ U und a eine reelle Zahl sind, dann

ist gilt für  alle i    v∈U_i

und weil a∈ℝ ist und alle U_i Unterräume sind,

gilt auch für alle i   av∈Ui

und damit auch av aus dem Durchschnitt der U_i ,

also aus U

---

Achso, tut mir leid. Und dankeschön! :)