Unendlichereihe,Teleskop,Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \) \( \frac{1}{n(n+2)} \)

Problem/Ansatz:

Moin ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe . ich habe bereits Partialbruchzerlegung

\( \frac{A}{n} \)+\( \frac{B}{n+2} \)

A=\( \frac{1}{2} \) ; B=\( \frac{-1}{2} \)

ergibt

\( \frac{1}{2n} \) -\( \frac{1}{2(n+2)} \)

\( \frac{1}{2} \)*(\( \frac{1}{n} \) -\( \frac{1}{n+2} \) )

\( \frac{1}{2} \) \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}} \)

\(\frac{1}{2} \)\( \lim\limits_{n\to\infty} \)( \( \frac{1}{1} \) -\( \frac{1}{n+1} \))=1-0=1

ich habe bis hier bekommen aber die Antwort lautet \( \frac{3}{4} \) was habe ich falsch gemacht.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus

Comments

"was habe ich falsch gemacht."

Aufg. falsch abgeschrieben

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Dein Term hinter dem Summenzeichen ist mit n kürzbar.

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Was meinen Sie ?

\( \frac{1}{2} \) aber ich habe den Term ausgeklammert , um Teleskopsumme zu erhalten ? wie wäre also die richtige Antwort ?

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n·\( \frac{1}{n·(n+2)} \) =\( \frac{1}{n+2} \)

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oh sorry n existiert nicht habe mich verschrieben.

Answer 1

\( \frac{1}{2} \) \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}} \)

Nur der letzte Schritt ist falsch. Wenn man es sich mal was ausführlicher vorstellt:

1/2 * (  1 -1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 … )

Dann heben sich - qua Teleskopsumme= fast alle gegenseitig auf, bis auf

1/2 * (  1  + 1/2       ) also muss es heißen 

\(\frac{1}{2} \)\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  ( \( \frac{1}{1}  +\frac{1}{2} \)  -\( \frac{1}{n+2} )= \frac{1}{2} *( \frac{1}{1}  +\frac{1}{2} ) = \frac{1}{2} * \frac{3}{2} \) = \( \frac{3}{4} \) 

Comments

Vielen Dank nochmal , jetzt macht das sinn.

muss ich immer die Teleskopesumme erst berechnen und dann die Übrigen summanden berechnen 1/2 * (  1 -1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 … ) oder gibt es eine schnellere Methode ?

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Ich würde mir immer die ersten mal hinschreiben.

Und wenn du sowas hast wie

(\( \frac{1}{n} \) -\( \frac{1}{n+12} \) )

musst du es halt etwas geschickt abzählen, wann das mit dem Aufheben beginnt.

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Ich bedanke mich nochmal bei Ihnen.

Ich wünsche Ihnen \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \) schöne Tage noch!

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\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}})\)

\(=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n}\)

\(=1+\frac{1}{2}\)

\(=\frac{3}{2}\)