Quadratische Funktion (Anwendungsbezogen)

Question

Aufgabe: Im Hallenbad Sankt Mang wird im Sommer das Schwimmbecken ausgelassen. Zur Zeit t=0 (in Stunden) wird der Abfluss geöffnet. Während der Entleerung kann das noch vorhandene Wasser zur Zeit t nährungsweise durch die Funktion V(t)=4/3t² -40t+300 (wobei t E [0;15] beschrieben werden). V(t) gibt also das aktuelle Wasservolumen in m³ an. Nach 15 Stunden ist das Becken leer.

a) Bestimmen sie welche Wassermenge durchschnittlich pro Stunde durch den Abfluss läuft.

b.) Berechnen sie die Abflussmenge pro Zeit zu Beginn der Entleerung und wie lange das Abfließen dauern würde, wenn diese Abflussmenge konstant beibehalten würde.

Answer 1

Aloha :)

Das Volumen \(V(t)\) des Wassers wird beschrieben durch folgende Funktion. Das Volumen \(V\) wird in \(m^3\) gemessen und die Zeit \(t\) in Stunden.$$V(t)=\frac{4}{3}t^2-40t+300\quad;\quad t\in[0;15]\;\;;\;\;[V]=m^3\;\;;\;\;[t]=h$$a) Durchschnittlich ablaufende Wassermenge:

Zum Zeitpunkt \(t=0\) sind \(V(0)=300\,m^3\) Wasser im Becken. Nach 15 Stunden ist das Becken leer. Im Durchschnitt laufen also \(\frac{300\,m^3}{15\,h}=20\,m^3/h\) Wasser ab.

b) Abflussrate zu Beginn der Entleerung:

Zu Beginn der Enleerung ändert sich die Füllmenge wie folgt:$$V'(t)=\frac{8}{3}t-40\quad\Rightarrow\quad V'(0)=-40\,m^3/h$$Die Füllmenge ändert sich zu Anfang also um \(-40\,m^3/h\), das bedeutet, dass dieselbe Menge Wasser zu Anfang abgeflossen sein muss. Die Ablaufrate beträgt zu Anfang also \(40\,m^3/h\). Das ist doppelt so schnell wie im Durchschnitt. Wäre diese anfängliche Ablaufrate konstant, wäre das Becken in \(7,5\,h\) leer.

Die abgeflossene Wassermenge sieht so aus:

~plot~ 300-(4/3*x^2-40x+300); [[0|15|0|310]] ~plot~

Answer 2

um die durschnittliche Abflussmenge zu bestimmen, berechnest du den Differenzquotienten zwischen den Punkten (0|300) und (15|0).

Berechnen sie die Abflussmenge pro Zeit zu Beginn der Entleerung

Falls ihr noch nicht bei der Differentialrechnung seid (Ableitung usw.) würde ich hier ebenfalls den Differenzquotienten zwischen (0|300) und einem naheliegenden Punkt, z.B. (1|f(1)) bestimmen und 300 durch das Ergebnis teilen.

Gruß, Silvia

Answer 3

V(t)=4/3t^2 -40t+300 (wobei t ∈ [0;15] beschrieben werden).

V(t) gibt also das aktuelle Wasservolumen in m3 an. Nach 15 Stunden ist das Becken leer.

a) Bestimmen sie welche Wassermenge durchschnittlich pro Stunde durch den Abfluss läuft.

(V(15) - V(0)) / ( 15 - 0 )  = ( 0 - 300 ) / (15 - 0 ) = -300/15 = -20

-20 m^3 / h ist die durchschnittliche Änderungsrate, es fließen also im Schnitt 20m^3

pro Stunde ab.

b.) Berechnen sie die Abflussmenge pro Zeit zu Beginn der Entleerung und 
wie lange das Abfließen dauern würde, wenn diese Abflussmenge konstant beibehalten würde.

Anfangs  V ' (0 )  wobei V ' (t) = 8/3 * t - 40 , also  V ' (0) = -40 .

Anfangs ist die Änderungsrate also -40 m^3 / h .  Es fließen also 40 m^3 pro Stunde ab.

Wenn 300 drin sind wäre es also bei gleichbleibender

Abflussgeschwindigkeit  nach 300/40 = 7,5h leer.