Aufgabe
a)Z= (Z1, . . . , Zn) sei ein n-facher p-Münzwurf. Wie wahrscheinlich ist für (n≥5) das Ereignis {Z3= 1, Z5= 1}?
b) Berechne E[X2] für eine Binom(n, p)-verteilte Zufallsvariable X, indem du die Darstellung X= Z1+· ·+Zn verwendest.
c) Folgere aus b) mit der Linearität des Erwartungswertes, dass für ein Binom(n, p)-verteiltes X gilt: | E[(X−np)²] =npq und E[(\( \frac{X}{n} \) −p)²]= \( \frac{pq}{n} \) .
d) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Anzahl der Erfolge beim n-fachen fairen Münzwurf um mehr als 0.01 von 0.5 abweicht,
(i) für n= 10000,
(ii) für n= 1000000
mittels der Ungleichung von Markov nach oben ab.
Alle Aufgaben sind treffend zu begründen. Fehlende Begründungen führen zu 0 Punkten für die entsprechende Aufgabe.
Ansatz
zu a) Hier bin ich nicht sicher, was genau gefragt wird. Die Wahrscheinlichkeit dass Z3 und Z5 ein Erfolg sind? Und was ist dann mit Z1, Z2 und Z4?. Sollen die dann zwangsläufig ein Misserfolg sein, oder ist das wumpe? Im ersteren Fall wäre es wohl (1-p)³ p². Weiß nicht, ob das eventuell zu einfach ist...
b) Hier wird überhaupt in keinster Weise spezifiert, was E [X²] sein soll? Der Erwartungswert für X quadriert? Die Varianz?! In unserem Manuskriptum wird der Erwartungswert der Binominalverteilung wie folgt definiert:
"X sei Bin(n,p)-verteilt. E [X] =
\( \sum\limits_{k=0}^{n}{kP(X=k)} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{n \choose k} \) pk qn-k
Sei Z = (Z1,....Zn) ein n-facher p-Münzwurf. Dann ist (Z1,...Zn) Bin(n,p)-verteilt. E [Z1,...Zn] = E [Z1] +....+ E [Zn]
E [Zi] = 1 * p + 0 * q = p.
Dann wäre E [X²] ja einfach p², oder wie meinen die das?
c) Kann ich nicht lösen, da ich b) nicht kann. In unserem Manuskript ist die Linearität des Erwartungswertes wie folgt definiert
E [c1 X1 + c2 X2] = c1 E [X1] + c2 E [X2], c1, c2 ∈ ℝ
d) Hier wurde uns folgende Formel an die Hand gelegt
X reelwertige Zufallsvarialbe mit X ≥ 0, c > 0:
Ungleichung von Markov: P(X ≥ c) = \( \frac{1}{c} \) E [X]
