zur Abgeschlossenheit:
\(\frac{x+y}{1+xy} < \frac{1+1}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \) abgeschlossen
zur Assoziativität
\((x*y)*z=\frac{(x+y)+z}{1+(xy)z }= \frac{x+(y+z)}{1+x(yz)}= x*(y*z) \Rightarrow\) assoziativ
zum neutralen element
\(x*0=\frac{x+0}{1+x0}=\frac{x}{1}=x\) sowie
\(0*x =\frac{0+x}{1+0x}=\frac{x}{1}=x \Rightarrow \) die Struktur besitzt ein Nullelement. Das Einselement ist zwar möglich, aber aufgrund der Definition von \(G\) nicht zugelassen
Zur Kommutativtät:
\(x*y=\frac{x+y}{1+xy}=\frac{y+x}{1+yx}=y*x \Rightarrow\) Die Struktur ist kommutativ, da die Addition und Multiplikation kommutativ ist.
zum Inversen Element:
\(x*x^{-}=\frac{x+(-x)}{1+x(-x)}=\frac{0}{1-x^2}=0\) sowie
\(x^{-}*x=\frac{-x+x}{1+(-x)x}=\frac{0}{1-x^2}=0 \Rightarrow \) Das inverse Element \(x^-\) ist gegeben durch \(x^-=-x\).
\(\Rightarrow\) die Struktur ist eine abelsche Gruppe
