Sinus Nullstellen berechnen

Question

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Ich soll über das Wochenende die Nullstellen der folgenden Funktion berechnen:

sin²(\( \sqrt{x} \) *π) + sin²(\( \frac{1}{7} \) * (x-4) * π) = 0

Hat da jemand nen Ansatz?

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Du kannst versuchen , zu vereinfachen über

sin^2(x)= 1/2( 1 -cos(2x)) und dann zusammenfasen ggf. durch Additionstheoreme.

Wenn das nicht geht dann ist die Lösung wohl nur über Näherungsverfahren (z.B. Newton) möglich.

Comments

Danke für deine Antwort,

kannst du mir das mit den Additionstheoremen näher erklären?

Ich hab nur das in den Klammern gleich Null gesetzt und dann nach x aufgelöst und den Sinus ignoriert und hatte dann 2π als Ergebnis, was ja x=4 entspricht, wie verhält sich das nun mit der Periode? Müsste ja unendlich Nullstellen geben.

Nochmals Danke.

Answer 2

Die zweite Nullstelle bei x=4 findet man sehr viel einfacher.

Comments

(Diese Antwort macht nur Sinn, wenn man weiss dass vorher als Nullstelle x = - 0,074 angegeben worden ist. Diese Lösung war zwar richtig, ist aber wieder verschwunden, weil man wohl die zweite Nullstelle bei x = 4 übersehen hat.)

Bei x = 256 ist auch eine Nullstelle, sehe ich gerade.

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Für den Definitionsbereich x ≥ 0 gilt, dass beide Summanden Null sein müssen. Das heisst, x=n² (erster Summand wird Null) sowie (n²-4)/7 muss ganzzahlig sein (zweiter Summand wird Null).

Answer 3

Hi, also ich kenne da 2 Ansätze.

(lies nur so weit bis du eine Idee hast, ich habe nämlich die ganze Aufgabe gespoilert (hoffentlich sogar richtig)

1. vereinfachen auf möglichst eine einzige Winkelfunktion, dann gucken was passiert

2. gucke was jede Funktion einzeln macht und setzte diese dann zusammen

wähle Weg 2:  (lang, da Idee ausführlich beschrieben)

sei a = $$ sin^2(\sqrt{x}*\pi)$$  und sei b  = $$sin^2(1/7(x-4)*\pi)$$

Beziehung von a und b: wenn a=b=0 oder wenn b= - a ist, dann haben wir eine Nullstelle

von Sinus wissen wir, (hier mal mit Wolfram alha sin(x) plotten)

sin(x)+sin(y)=0 wenn beide 0 also x und y aus {0,pi,2*pi} sind oder wenn y= -x dann sin(y) =-1*sin(x)

jetzt haben wir aber sin^2(), also entfällt b= -a, da ()^2 immer positiv ist.

Zwischenergebnis: Nst der Fkt <=>  a=b=0 <=> a=0 und b=0 das können wir nun getrennt betrachten

 $$ a = sin^2(\sqrt{x}*\pi)$$

sin^2() ist sin()*sin()0, ist also 0 wenn sin() Null ist,

$$ sin(\sqrt{x}*\pi) <=>\sqrt{x}*\pi  \in [0,pi,2*\pi] $$

jetzt kann man das sozusagen wie 3 Gleichungen lösen, (durch pi teilen und quadrieren)

$$\sqrt{x}*\pi  \in [0,pi,2*\pi]  <=> (+-)x = \in[0,1,4]$$

Dies ist die Lösung für a=0, also an x_a= (+-)[0,1,4]

 $$b  = sin^2(1/7(x-4)*\pi)$$  analog (beide Seiten *7 und +4)

$$ <=>  1/7(x-4)*\pi \in [0,pi,2*\pi]  <=> x \in [4,11,18] $$

Dies ist die Lösung für b=0, also an x_b=[4,11,18]

Zusammenfassen von a und b

Die Lösung unserer Ausgangsgleichung f(x) =a+b ist die Schnittmenge der Lösungen a=0 und b=0

also     ( x (geschnitten) y= was in x und y liegt )

$$ f(x) =sin^2(\sqrt{x}*\pi) + sin^2(1/7(x-4)*\pi) = 0 <=> $$

$$x \in x_a=(+-)[0,1,4] (geschnitten) x_b=[4,11,18]  <=> x= 4 $$ 

!!! Ich scheine Lösung verloren zu haben.

Problem: ich gehe von einem Intervall von [0,2pi] aus, aber es gibt in Wirklichkeit

von - unendlich bis +unendlich in pi schritten immer wieder Nullstellen, man muss also versuchen beide Lösungen x_a,x_b als Funktionen gleich zu setzten nehme ich an.

$$\sqrt{x}*\pi = 1/7(x-4)*\pi  <=> 7*\sqrt{x}= (x-4) <=> x-7*\sqrt{x}=4 $$

Ich denke man muss das ganze nach x umstellen, sich die Umformungsschritte /pi, *7 ...

stellen dann eine Transformation für das Intervall dar, also so wie oben aus [0,pi,2pi] => [0,1,4] geworden ist

sollte [-unendlich:in pi schritten:+unendlich] auch unsere Lösung ergeben.

Vielleicht reicht es auch geschickt von [-unendlich:in pi schritten:+unendlich] wieder zu [0 bis 2pi] zu kommen, da

Sinus ja periodisch ist.

Aus Zeitgründen muss ich hier leider abbrechen.