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Aufgabe: Metrik in Epsilon-Umgebung des Nullpunkts
Um die Epsilon-Umgebung des Nullpunkts unter verschiedenen Metriken zu beschreiben, betrachten wir zwei spezifische Metriken:
1. Die Manhattan-Metrik (auch als d1 oder City-Block-Metrik bezeichnet)
2. Die Maximum-Metrik (auch als d∞ oder Chebyshev-Metrik bezeichnet)
Manhattan-Metrik (\(d_1\)):
Die Manhattan-Metrik definiert den Abstand zwischen zwei Punkten \(a = (a_1, a_2)\) und \(b = (b_1, b_2)\) im \(\mathbb{R}^2\) als:
\( d_1(a, b) = |a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| \)
Die Epsilon-Umgebung (\(\epsilon\)-Umgebung) des Nullpunkts \( (0, 0) \) unter der Manhattan-Metrik ist definiert als die Menge aller Punkte \( (x_1, x_2) \), deren Abstand zum Nullpunkt kleiner als \(\epsilon\) ist:
\( \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid d_1((0, 0), (x_1, x_2)) < \epsilon \} \)
Dies bedeutet:
\( |x_1| + |x_2| < \epsilon \)
Diese Ungleichung beschreibt eine Raute (oder ein „Diamant“) im \(\mathbb{R}^2\), zentriert im Nullpunkt. Die Länge der Diagonalen dieser Raute ist \(2\epsilon\).
Maximum-Metrik (\(d_{\infty}\)):
Die Maximum-Metrik definiert den Abstand zwischen zwei Punkten \(a = (a_1, a_2)\) und \(b = (b_1, b_2)\) im \(\mathbb{R}^2\) als:
\( d_{\infty}(a, b) = \max\{|a_1 - b_1|, |a_2 - b_2|\} \)
Die Epsilon-Umgebung (\(\epsilon\)-Umgebung) des Nullpunkts \( (0, 0) \) unter der Maximum-Metrik ist definiert als die Menge aller Punkte \( (x_1, x_2) \), deren Abstand zum Nullpunkt kleiner als \(\epsilon\) ist:
\( \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid d_{\infty}((0, 0), (x_1, x_2)) < \epsilon \} \)
Dies bedeutet:
\( \max\{|x_1|, |x_2|\} < \epsilon \)
Diese Ungleichung beschreibt ein Quadrat im \(\mathbb{R}^2\), zentriert im Nullpunkt, mit Seitenlänge \(2\epsilon\), wobei jede Ecke des Quadrats vom Nullpunkt den Abstand \(\epsilon\) hat.
Zusammenfassung:
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Manhattan-Metrik:
- Die \(\epsilon\)-Umgebung des Nullpunkts unter der Manhattan-Metrik ist eine Raute mit Diagonalen der Länge \(2\epsilon\).
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Maximum-Metrik:
- Die \(\epsilon\)-Umgebung des Nullpunkts unter der Maximum-Metrik ist ein Quadrat mit Seitenlänge \(2\epsilon\).
Visualisiert man diese Umgebungen im \(\mathbb{R}^2\), wird der Unterschied in der Form dieser Regionen deutlich: Die Manhattan-Metrik führt zu einer rautenförmigen Epsilon-Umgebung, während die Maximum-Metrik eine quadratische Epsilon-Umgebung ergibt.
