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a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \( A \), dass Heiner früher als Karl eintrifft?
Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir den Zeitraum, in dem sich Heiner und Karl treffen können, als ein Quadrat auf einem Koordinatensystem. Die x-Achse repräsentiert die Ankunftszeit von Heiner zwischen 5:00 und 7:00 Uhr und die y-Achse die Ankunftszeit von Karl im selben Zeitraum. Da beide unabhängig voneinander und gleichverteilt zwischen 5:00 und 7:00 Uhr ankommen, stellt jeder Punkt innerhalb des Quadrats eine mögliche Kombination von Ankunftszeiten dar.
Dieses Quadrat hat eine Seitenlänge von zwei Stunden und somit eine Fläche von \(2 \times 2 = 4\) Stunden\(^2\), die alle möglichen Kombinationen von Ankunftszeiten darstellt.
Die Bedingung, dass Heiner früher als Karl eintrifft, entspricht der Fläche oberhalb der Diagonale von der unteren linken Ecke (beide kommen um 5 Uhr an) zur oberen rechten Ecke (beide kommen um 7 Uhr an) des Quadrats. Diese Halbierung des Quadrats durch die Diagonale resultiert in zwei gleich großen Dreiecken, wobei das obere Dreieck dem Ereignis entspricht, dass Heiner früher als Karl eintrifft.
Da die Fläche, die dem Ereignis entspricht, halb so groß wie die Gesamtfläche aller möglichen Ankunftszeiten ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Heiner früher eintrifft, \(\frac{1}{2}\) oder \(50\%\).
b) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit von \( B \), wenn bekannt ist, dass Heiner als Erster eintrifft.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von \( B \) gegeben \( A \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heiner vor 6:00 Uhr eintrifft, gegeben, dass Heiner früher als Karl eintrifft. Um diese zu berechnen, betrachten wir, dass das Ereignis \( B \), also Heiners Ankunft vor 6 Uhr, die Fläche unter der Diagonalen in der linken Hälfte des Quadrats betrifft, also die Hälfte einer der zwei Stunden, die zur Verfügung stehen.
Diese Fläche entspricht einem Dreieck mit der Basis von 1 Stunde und der Höhe von 1 Stunde. Also hat dieses Dreieck eine Fläche von \(\frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}\) Stunden\(^2\). Da die Gesamtfläche der Möglichkeit, dass Heiner vor Karl ankommt, 2 Stunden\(^2\) beträgt, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \( \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} \) oder \(25\%\).
c) Karl wird aufgehalten und kann erst nach 6:00 Uhr eintreffen.
Unter dieser Bedingung ändert sich das Quadrat der Möglichkeiten, da Karl nun innerhalb eines kürzeren Zeitraums (zwischen 6:00 und 7:00 Uhr) ankommen kann. Dies reduziert die Gesamtfläche der Möglichkeiten für Karls Ankunftszeiten auf ein 1 Stunde breites und 2 Stunden hohes Rechteck. Die Wahrscheinlichkeit, dass Heiner vor Karl ankommt, entspricht nun der Fläche, in der Heiner zwischen 5:00 und 6:00 Uhr eintrifft, plus der Hälfte der Fläche, in der Heiner zwischen 6:00 und 7:00 Uhr ankommt, da Karl nur in dieser Zeitspanne eintreffen kann.
Da Heiner die ganze Zeit über zwischen 5:00 und 6:00 Uhr ankommen kann, sowie in der Hälfte der Zeit, in der auch Karl ankommen kann (zwischen 6:00 und 7:00 Uhr), ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heiner vor Karl eintrifft, \( \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4} \) oder \(75\%\).
d) Karl trifft schließlich um 6:30 Uhr ein.
Um die Verteilungsfunktion \( F \) und die Dichtefunktion \( P_{Z} \) zu bestimmen, berücksichtigen wir, dass Karl um 6:30 Uhr eintrifft. Die Zufallsvariable \( Z \) misst den Zeitabstand zwischen den Ankunftszeiten von Heiner und Karl. Da Heiner irgendwann zwischen 5:00 und 6:30 Uhr ankommen kann, variieren die Werte von \( Z \) zwischen -1,5 Stunden (falls Heiner um 5:00 Uhr ankommt) und 0 Stunden (falls Heiner genau um 6:30 Uhr ankommt).
Die Verteilungsfunktion \( F(z) \) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass \( Z \leq z \) ist. \( F(z) \) ist eine lineare Funktion innerhalb des Bereichs von \( Z \), da die Wahrscheinlichkeit, dass Heiner zu einem bestimmten Zeitpunkt innerhalb des möglichen Zeitraums ankommt, gleichverteilt und linear zunimmt.
Für \( Z \), die Dichte \( P_{Z}(z) \), ist gleichmäßig verteilt über das Intervall \([-1.5, 0]\). Daher ist \( P_{Z}(z) = \frac{1}{1.5} \) für \( -1.5 \leq z \leq 0 \) und \( 0 \) sonst, da die Gesamtlänge des Intervalls 1,5 Stunden beträgt und die Wahrscheinlichkeit gleichverteilt ist.
