Varianz des Stichprobenmittels (Ziehen ohne Zurücklegen)

Question

Aufgabe

In einer Population von 90 Individuen haben 45 Individuen die Größe 10, 15 Individuen die Größe 5und 30 Individuen die Größe 20. Es sei Xdie Größe eines rein zufällig aus der Population gewählten Individuums.

a) Berechne (i) den Erwartungswert, (ii) die Varianz, (iii) die Standardabweichung von X.

b) Wir ziehen rein zufällig und ohne Zurücklegen aus der Population und bezeichen mit X_i die Größe des i-ten gezogenen Individuums.

α) Warum hängt (für 1 ≤ i ≠ j≤90) die Kovarianz Cov [X_i, Xj] nicht von i und j ab?

β) Berechne die Kovarianz von X₁ und X₂ aus der Identität 0 =Var (X₁+. . .+X₉₀).

γ) Berechne die Varianz des Stichprobenmittels \( \frac{1}{30} \) (X₁+. . .+X₃₀)..

c) Schätze mittels der Ungleichung von Chebyshev die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass das Stichprobenmittel \( \frac{1}{30} \) (X1+. . .+X30).. um mehr als 2 von μ abweicht


Ansatz

a) i) Erwartungswert E (x) = 1/2 * 10 + 1/6 * 5 + 1/3 * 20 = 12,5
ii) Varianz: (10 - 12,5)² *1/2 + (5 - 12,5)² * 1/6 + (20 - 12,5)² * 1/3 = 31,25

iii) Wurzel von 31,26 = 5,5902

b)

α) Es weden alle Individuen gezogen. Der Ausgang ist deterministisch und damit Var (X₁...X₉₀) = 0. (richtig oder Quatsch?)

β) Für die Kovarianz habe ich folgende Formel im Internet gefunden

Var (X₁+· ·+X₉₀) = \( \sum\limits_{i=1}^{90}{}\) Var X_i + \( \sum\limits_{i≠j}^{}{} \) Cov (X_i, X_j).
\( \sum\limits_{i=1}^{90}{}\) ist die Varianz, also 31,25. Aber was ist der hintere Term, also \( \sum\limits_{i≠j}^{}{} \) Cov (X_i, X_j) ?

γ) Hier hätte ich gesagt \( \frac{1}{30} \) * 31,25 = 1,0412. Hier bin ich mir nicht sicher, ob es nicht doch zu einfach ist.

c) Auch hier wieder eine Formel durch Internetrecherche

Var (X) = \( \frac{p(1-p)}{n} \) . Für n hätt' ich jetzt 30 eingesetzt, da dies die Stichprobengröße ist. Aber was ist p, wenn die Abweichung 2 sein soll? 200 %?

Im Skript ist die Ungleichung von Chebyshev wie folgt definiert:
"Y sei eine reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert μ. Dann gilt für alle ε >0:

P(|Y−μ| ≥ε) ≤ \( \frac{1}{ε^{2}} \) Var[Y] ".

Den Erwartungswert und die Varianz habe ich aus Aufgabenteil a). Aber was wären Mü und Epsilon?

Danke und liebe Grüße