Fasern f-1 ( 0, 0), f-1 (1,2) bestimmen; f: R3--> R2. Injektive oder surjektive Funktion?

Question

Es sei $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ durch $f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3} \\ 2 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}\end{array}\right)$ definiert.

a) Bestimmen Sie die Fasern $f^{-1}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right), f^{-1}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), f^{-1}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$.

b) Ist $f$ injektiv? Surjektiv?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe a)

Gegeben ist die Funktion $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ definiert durch
$f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right).$

Um die Fasern $f^{-1}(\mathbf{y})$ für verschiedene $\mathbf{y}$ zu bestimmen, lösen wir die Gleichung
$\left( f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \mathbf{y} \right)$
für $\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)$.

i) $f^{-1}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right)$

Setzen wir $\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$, erhalten wir:

$\left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right).$

Daraus folgen die Gleichungen:
$x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \quad (1)$
$2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 0 \quad (2)$

Gleichung (2) ist nur das Doppelte von Gleichung (1), also ist sie redundant. Wir haben daher:
$x_{1} + x_{2} = x_{3}.$

Die Lösung ist die Ebene:
$f^{-1}\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right) = \left\{ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) : x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \right\}.$

ii) $f^{-1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)$

Setzen wir $\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$, erhalten wir:

$\left(\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right).$

Daraus folgen die Gleichungen:
$x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1 \quad (1)$
$2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 2 \quad (2)$

Auch hier ist Gleichung (2) nur das Doppelte von Gleichung (1), also bleibt:
$x_{1} + x_{2} = x_{3} + 1.$

Die Lösung ist die Ebene:
$f^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left\{ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} + x_{2} - 1 \end{array}\right) : x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \right\}.$

iii) $f^{-1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Setzen wir $\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)$, erhalten wir:

$\left(\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right).$

Daraus folgen die Gleichungen:
$x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1 \quad (1)$
$2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 0 \quad (2)$

Nun sind beide Gleichungen unabhängig, und wir haben zusätzlich:
$2(x_{1} + x_{2} - x_{3}) = 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \quad (3)$

Hier gibt es keine $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ die beide (1) und (3) erfüllen kann, da sie widersprüchlich sind. Daher ist:
$f^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) = \emptyset.$

Aufgabe b)

Injektivität:

Eine Funktion $f$ ist injektiv, wenn $f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})$ nur möglich ist, wenn $\mathbf{x} = \mathbf{y}$. Gegeben:
$f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = f\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right)$

Daraus folgt:
$\left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}y_{1} + y_{2} - y_{3} \\ 2y_{1} + 2y_{2} - 2y_{3}\end{array}\right).$

Dies führt zu:
$x_{1} + x_{2} - x_{3} = y_{1} + y_{2} - y_{3}$
$2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 2y_{1} + 2y_{2} - 2y_{3}$

Da die Gleichungen äquivalent sind, haben wir nicht genügend Einschränkungen, um $\mathbf{x} = \mathbf{y}$ zu folgern. Deshalb ist $f$ nicht injektiv.

Surjektivität:

Eine Funktion $f$ ist surjektiv, wenn für jedes Element in $\mathbb{R}^2$ ein Urbild in $\mathbb{R}^3$ existiert. Da die zweite Komponente der Bildmenge nur das Doppelte der ersten ist, haben wir:
$f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \\ 2a \end{array}\right).$

Jede $\mathbf{y} = \left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)$ in $\mathbb{R}^2$ muss die Bedingung $y_{2} = 2y_{1}$ erfüllen, damit ein $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ existiert. Da diese Bedingung eine Einschränkung darstellt, ist $f$ nicht surjektiv.

Zusammenfassung:

$f$ ist weder injektiv noch surjektiv.