Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe a)
Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
\( f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right). \)
Um die Fasern \( f^{-1}(\mathbf{y}) \) für verschiedene \(\mathbf{y} \) zu bestimmen, lösen wir die Gleichung
\( \left( f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \mathbf{y} \right) \)
für \(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \).
i) \( f^{-1}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Setzen wir \(\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)\), erhalten wir:
\( \left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right). \)
Daraus folgen die Gleichungen:
\( x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \quad (1) \)
\( 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 0 \quad (2) \)
Gleichung (2) ist nur das Doppelte von Gleichung (1), also ist sie redundant. Wir haben daher:
\( x_{1} + x_{2} = x_{3}. \)
Die Lösung ist die Ebene:
\( f^{-1}\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right) = \left\{ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) : x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \right\}. \)
ii) \( f^{-1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
Setzen wir \(\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)\), erhalten wir:
\( \left(\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right). \)
Daraus folgen die Gleichungen:
\( x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1 \quad (1) \)
\( 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 2 \quad (2) \)
Auch hier ist Gleichung (2) nur das Doppelte von Gleichung (1), also bleibt:
\( x_{1} + x_{2} = x_{3} + 1. \)
Die Lösung ist die Ebene:
\( f^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left\{ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} + x_{2} - 1 \end{array}\right) : x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \right\}. \)
iii) \( f^{-1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
Setzen wir \(\mathbf{y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)\), erhalten wir:
\( \left(\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right). \)
Daraus folgen die Gleichungen:
\( x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1 \quad (1) \)
\( 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 0 \quad (2) \)
Nun sind beide Gleichungen unabhängig, und wir haben zusätzlich:
\( 2(x_{1} + x_{2} - x_{3}) = 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \quad (3) \)
Hier gibt es keine \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\) die beide (1) und (3) erfüllen kann, da sie widersprüchlich sind. Daher ist:
\( f^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) = \emptyset. \)
Aufgabe b)
Injektivität:
Eine Funktion \( f \) ist injektiv, wenn \( f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y}) \) nur möglich ist, wenn \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\). Gegeben:
\( f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = f\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right) \)
Daraus folgt:
\( \left(\begin{array}{c}x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}y_{1} + y_{2} - y_{3} \\ 2y_{1} + 2y_{2} - 2y_{3}\end{array}\right). \)
Dies führt zu:
\( x_{1} + x_{2} - x_{3} = y_{1} + y_{2} - y_{3} \)
\( 2x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 2y_{1} + 2y_{2} - 2y_{3} \)
Da die Gleichungen äquivalent sind, haben wir nicht genügend Einschränkungen, um \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\) zu folgern. Deshalb ist \( f \) nicht injektiv.
Surjektivität:
Eine Funktion \( f \) ist surjektiv, wenn für jedes Element in \(\mathbb{R}^2\) ein Urbild in \(\mathbb{R}^3\) existiert. Da die zweite Komponente der Bildmenge nur das Doppelte der ersten ist, haben wir:
\( f\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \\ 2a \end{array}\right). \)
Jede \(\mathbf{y} = \left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)\) in \(\mathbb{R}^2\) muss die Bedingung \( y_{2} = 2y_{1} \) erfüllen, damit ein \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \) existiert. Da diese Bedingung eine Einschränkung darstellt, ist \( f \) nicht surjektiv.
Zusammenfassung:
\( f \) ist weder injektiv noch surjektiv.
