Bild: f(1; 1; 0) = (1; 0); f(1,-1, 0) = (-1; 2); f(1; 0; 1) = (0; 2): Suche f(e1); f(e2); f(e3).

Question

Sei f : R^3 -> R^2 eine lineare Abbildung, mit den folgenden Eigenschaften:
f(1; 1; 0) = (1; 0); f(1,-1, 0) = (-1; 2); f(1; 0; 1) = (0; 2):
Bestimmen Sie die Bilder der Basisvektoren e1; e2 und e3 unter f.

Comments

Sei f : R³ -> R² eine lineare Abbildung, mit den folgenden Eigenschaften:
f(1; 1; 0) = (1; 0); f(1,-1, 0) = (-1; 2); f(1; 0; 1) = (0; 2):
Bestimmen Sie die Bilder der Basisvektoren e1; e2 und e3 unter f.

Weil:

e1 = 0.5((1,1,0)+(1,-1,0))

f(e1) = 0.5(f(1,1,0)+f(1,-1,0)) = 0.5((1,0) + (-1,2)) = (0,1)

Bitte nachrechnen.

Dann den Rest analog berechnen.

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Wie bist du auf diesen Ansatz gekommen

->

e1 = 0.5((1,1,0)+(1,-1,0))

f(e1) = 0.5(f(1,1,0)+f(1,-1,0)) = 0.5((1,0) + (-1,2)) = (0,1)

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Durch 'scharfes Hinsehen'.

Man könnte auch rechnen.

a(1; 1; 0) +b(1,-1, 0)+c(1; 0; 1) = (1,0,0)

Bei = (0,1,0) etc. musst du a,b,c vielleicht ausrechnen.

Du kannst aber auch
(1,1,0) - (1,0,0) = (0,1,0) rechnen.

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wie hast du 0,5 als koeffizienten ermittelt?

danke noch mals :)

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für e_2(0,1,0) und e_3(0,0,1) müssten die basis vektoren sein,ja?

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Ja. Davon bin ich ausgegangen. Sollte ja irgendwo in euren Unterlagen definiert sein.

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wie müsste ich dann das Bild von e_2 bestimmen, kannst du den ansatz geben

Answer 1

(1; 1; 0) +(1,-1, 0) = (2,0,0)

Daher
0.5 ((1; 1; 0) +(1,-1, 0)) = 0.5 (2,0,0) = (1,0,0)

Comments

für e_2(0,1,0) und e_3(0,0,1) müssten die basis vektoren sein,ja?

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a(1; 1; 0) +b(1,-1, 0)+c(1; 0; 1) = (0,1,0)

 a,b,c ausrechnen.

oder:
(1,1,0) - (1,0,0) = (0,1,0) rechnen.

f(e2) = (f(1,1,0)-f(1,0,0)) = (1,0) -  (0,1) = (1, -1)

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wenn ich a,b,c ausgerechnet habe, was muss ich dann machen,

ich habe folgende werte bekommen a=1/2 , b=-1/2 ,c=0

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Dann rechnest du nach den Regeln für lin. Funktionen:

f(e2) = 0.5(f(1,1,0))- 0.5f(1,-1,0)) = 0.5((1,0) -0.5 (-1,2)) = (1, -1)

Du bekommst somit dasselbe, wie ich dort habe. Sollte somit stimmen.

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außerdem muss das bild von f(e_2) =(2,-1) sein und nicht (1,-1), da es gespiegelt sein muss,oder?

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In dem Fall musst du nochmals alles nachrechnen und kontrollieren, ob du die Aufgabe richtig abgeschrieben hattest.

Welche Art von Spiegelung soll denn verlangt sein?  Du hattest nur verlangt, dass die Funktion linear ist.

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ach nur ein kleiner denkfehler :)