Aloha :)
Das Schwimmbecken hat die Fläche \(12\,m\cdot7\,m=84\,m^2\). Pro Meter Höhe fasst das Becken daher \(84\,m^3\) Wasser. Die Änderungsrate der Wassermenge in \(m^3\) beträgt:$$a(t)=0,01t^3+0,2t^2+3t$$Das rechnen wir in die Änderungsrate der Füllhöhe um:$$\tilde a(t)=\frac{1}{84}\left(0,01t^3+0,2t^2+3t\right)$$Durch Integration erhalten wir die Füllhöhe \(h(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\):
$$h(t)=\frac{1}{84}\left(\frac{0,01}{4}t^4+\frac{0,2}{3}t^3+\frac{3}{2}t^2\right)+\text{const.}$$Der Wasserstand (Höhe) zum Zeitpunkt \(t=0\) ist nach Aufgabenstellung \(0,5\,m\), sodass wegen \(h(0)=\text{const.}\) die Integrationskonstante gleich \(0,5\) sein muss:
$$h(t)=\frac{1}{84}\left(\frac{1}{400}t^4+\frac{1}{15}t^3+\frac{3}{2}t^2\right)+0,5$$
Nach \(t=9\) Stunden Füllvorgang beträgt der finale Wasserstand:
$$h(9)=2,72\,m$$
