Lagebeziehung Gerade/Ebene

Question

Aufgabe:

Die vordere Begrenzung einer 4,5km dicken Schlechtwetterfront wird beschrieben durch die Ebene E:2x+2y+z=6 (LE: 1 km).

a) Ein Meterologe befindet sich mit senem Flugzeug im Punkt P(5I5I4). Er möchte zu Forschungszwecken die Schlechtwtterfront orhtogonal durchfliegen. In welchem Punkt A triit sein Flugzeug in die Schlechtwetterfront ein?

Hier habe ich den Punkt A(1I1I2) bekommen

b) In welchem Punkt B verlässt das Flugzeug des Meterologen die Schlechtwetterfront? Welche Ebene F beschreibst die hinterere Begrenzung der Schlechtwetterfront?

Ich komme bei b nicht weiter... Im Internet hat jemand folgende Geradegleichung gebaut: g:x=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} \) +r*\( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \), dann hat er r=-1,5 eingesetzt.

Ich kann das nicht nachvollziehen. Könnte jemand bitte mir erklären, wie man die Aufgabe lösen kann?

Answer 1

Fluggerade

[5, 5, 4] + r·[2, 2, 1] = [2·r + 5, 2·r + 5, r + 4]

In Ebene einsetzen

2·(2·r + 5) + 2·(2·r + 5) + (r + 4) = 6 --> r = -2

A = [5, 5, 4] - 2·[2, 2, 1] = [1, 1, 2]

B = [1, 1, 2] - 4.5·[2, 2, 1]/|[2, 2, 1]| = [-2, -2, 0.5]

F: 2·x + 2·y + z = 2·(-2) + 2·(-2) + (0.5)

F: 2·x + 2·y + z = -7.5

Comments

An sich hast du den Punkt B ja fast wie den Punkt A berechnet. Soweit habe ich das verstanden. Ich würde jedoch auf (-8/-8/-2,5) als Punkt B kommen. Warum hast du am Ende noch durch den Betrag von [2/2/1] gerechnet? Das leuchtet mir nicht ein. MfG Lisa

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Die Schlechtwetterfront hat eine Dicke von 4.5 km. Wir wir einen Richtungsvektor durch seine Länge teilen normieren wir diesen Vektor auf eine Länge von 1. In unserem Fall 1 km.

Wenn du dann das 4.5 Fache dieses Vektors nimmst hast du genau die Dicke dieser Schlechtwetterfront.

Teilst du den Vektor nicht durch seinen Betrag hat der Richtungsvektor die Länge

|[2, 2, 1]| = √(2^2 + 2^2 + 1^1) = 3

Wenn du jetzt das 4.5-fache dieses Vektors nimmst beträgt die Länge 13.5 km. Das ist ja aber viel Länger als die Dicke der Schlechtwetterfront.