(an) konvergiert gegen a. Dann konvergiert ((-1)^n an) genau dann, wenn a=0.

Question

Aufgabe:

(an) konvergiert gegen a. Dann konvergiert ((-1)^n an) genau dann, wenn a=0.

Problem/Ansatz:

Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar, weil ich dachte (-1)^n ist divergent

Comments

Ein Produkt ist null, genau dann wenn einer seiner Faktoren null ist.

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Ein Produkt ist null, genau dann wenn einer seiner Faktoren null ist.

Das Produkt möchte ich mal sehen.

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"Das Produkt möchte ich mal sehen. "

Findest Du in jeder Schulklasse ;)

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Es muss heißen, "genau dann, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist".

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Das Wörtchen ändert doch gar nichts.

Ihr scheint allesamt nicht zu begreifen, dass der Nullproduktsatz auf die vorgelegte Aufgabe überhaupt nicht anwendbar ist.

Answer 1

1) Wenn \( a = 0 \) gilt, folgt \( | (-1)^n a_n | =  | a_n | < \epsilon \) für \( n > n_0 \), also ist die Folge \( (-1)^n a_n \)ebenfalls konvergent gegen \( 0 \).

2) Wenn \( b_n = (-1) a_n \) konvergent ist, dann auch jede Teilfolge von \( b_n = (-1)^n a_n \)

Die Teilfolge \( b_{2n} = a_{2n} \) konvergiert gegen \( a \) und die Teilfolge \( b_{2n+1} = -a_{2n+} \) konvergiert gegen \( -a \). Da der Grenzwert eindeutig ist gilt \( a = -a \) also \( a = 0 \)