Zeigen Sie, dass eine Folge (xk)k∈ℕ in ℂ genau dann gegen einen Punkt x ∈ ℂ konvergiert, wenn x ein Häufungspunkt ist

Question

Zeigen Sie, dass eine Folge (x_k)_k∈ℕ in ℂ genau dann gegen einen Punkt x ∈ ℂ konvergiert, wenn x ein
Häufungspunkt jeder Teilfolge von (x_k)_k∈ℕ ist.

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

wenn \(x_n \to x\), dann ist x als Grenzwert auch ein Häufungspunkt. Und allgemein konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert wie die Gesamt-Folge.

Wenn x Häufungspunkt jeder Teilfolge von \((x_n)\) ist, dann ist er zunächst auch Häufungspunkt der Folge selbst. Dann ist er aber auch Grenzwert. Denn sonst existiert ein \(\epsilon >0\) und dazu eine Teilfolge \((x_{n_k})\), so dass

$$|x_{n_k}-x| \geq \epsilon$$

Dann könnte aber x nicht Häufungspunkt diese Teilfolge sein.

Gruß Mathhilf