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Beweis
Um zu beweisen, dass eine Folge reeller Zahlen konvergiert, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat, betrachten wir die beiden Richtungen des Beweises separat:
1. Richtung: Eine konvergierende Folge ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt
Sei \((a_n)\) eine konvergierende Folge mit Grenzwert \(L\). Zuerst zeigen wir, dass die Folge beschränkt ist. Da \((a_n)\) gegen \(L\) konvergiert, existiert für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N\), sodass für alle \(n > N\) gilt:
\(
|a_n - L| < \epsilon.
\)
Wählen wir \(\epsilon = 1\), wird deutlich, dass alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index \(N\) in einer 1-Umgebung von \(L\) liegen. Die Menge der ersten \(N\) Folgenglieder ist endlich und somit beschränkt. Zusammen mit den nachfolgenden Gliedern, die innerhalb der 1-Umgebung von \(L\) liegen, lässt sich schließen, dass die gesamte Folge beschränkt ist.
Nun zeigen wir, dass \(L\) der einzige Häufungspunkt der Folge ist. Angenommen, es gibt einen weiteren Häufungspunkt \(L' \neq L\). Dann können wir um \(L\) und \(L'\) disjunkte Umgebungen finden (aufgrund ihrer Unterschiedlichkeit), was bedeutet, dass unendlich viele Folgenglieder sowohl in der Nähe von \(L\) als auch von \(L'\) sein müssten. Dies widerspricht aber der Konvergenz der Folge gegen den eindeutigen Grenzwert \(L\).
2. Richtung: Eine beschränkte Folge mit genau einem Häufungspunkt konvergiert
Sei \((a_n)\) eine beschränkte Folge reeller Zahlen mit genau einem Häufungspunkt \(L\). Beschränktheit bedeutet, dass es reelle Zahlen \(M\) und \(m\) gibt, sodass für alle \(n\) gilt:
\(
m \leq a_n \leq M.
\)
Wegen der Beschränktheit und der Annahme, dass \(L\) der einzige Häufungspunkt ist, gilt für jedes \(\epsilon > 0\), dass fast alle Folgenglieder in der \(\epsilon\)-Umgebung von \(L\) liegen müssen. Wenn dies nicht der Fall wäre, gäbe es einen weiteren Häufungspunkt außerhalb dieser \(\epsilon\)-Umgebung, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt, dass \(L\) der einzige Häufungspunkt ist.
Zu zeigen, dass \((a_n)\) gegen \(L\) konvergiert, wählen wir ein beliebiges \(\epsilon > 0\). Da \(L\) der einzige Häufungspunkt ist, gibt es ein \(N\), sodass für alle \(n > N\) gilt:
\(
|a_n - L| < \epsilon.
\)
Dies ist genau die Definition der Konvergenz der Folge \((a_n)\) gegen den Grenzwert \(L\).
Zusammenfassung
Eine Folge reeller Zahlen konvergiert dann und nur dann, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat. Ein konvergierender Grenzwert impliziert Beschränktheit und Eindeutigkeit des Häufungspunktes, während die Beschränktheit und Eindeutigkeit des Häufungspunktes die Existenz eines Grenzwertes garantieren, gegen den die Folge konvergiert.
