Eine beschränkte Folge reeller Zahlen (an)n∈ℕ ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Aussage zeigen:

Eine beschränkte Folge reeller Zahlen (an)_n∈ℕ ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass das der Satz von Bolzano Weierstraß ist, aber irgendwie verstehe ich nicht, wie ich die Aussage zeigen könnte

Answer 1

Hallo,

jede konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Das ist klar!?

Zur Umkehrung: Sei \((a_n)\) eine Folge mit dem einzigen Häufungspunkt a. Wir nehmen an, a sei nicht Grenzwert der Folge. Wenn man die Definition von Konvergenz verneint, ergibt sich:

$$\exists \epsilon >0: \quad \forall k \in \mathbb{N}: \quad \exists n_K \in \mathbb{N}: \quad n_k >k \text{ und } |a_{n_k}-a|>\epsilon$$

Mit Hilfe dieser Eigenschaft kann man eine Tielfolge \((a_{n_j})\) definieren. Diese besitzt wegen Bolzano-Weierstrass einen Häufungspunkt b, der wegen der Konstruktion der Teilfolge \(|a_{n_j}-a| \geq \epsilon\) erfüllt. Also wäre b ein zweiter von a verschiedener Häufungspunkt.

Gruß Mathhilf