Beweisen Sie: konvergiert eine Folge {xn}n∈N gegen a ∈ R, dann ist a ein einziger Häufungspunkt der Folge {xn}.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: konvergiert eine Folge {x_n}_n∈N gegen a ∈ R, dann ist a ein einziger Häufungspunkt der Folge {x_n}.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Sei a ∈ R Grenzwert der Folge  {xn}n∈N .

Dann musst du ja zeigen

1. a ist ein Häufungspunkt

2. Es gibt keine weiteren Häufungspunkte.

zu 1:  Def. Häufungspunkt: In jeder Umgebung von a liegen unendlich viele Folgenglieder

         Def. Grenzwert:  In jeder Umgebung von a liegen von einem gewissen N an alle Folgenglieder

Wenn also von einem gewissen N an alle weiteren Folgenglieder in der

Umgebung liegen, dann sind das alle die mit Index n>N, also unendlich viele.

zu 2: Sei a der Grenzwert und  b ein weiterer Häufungspunkt von b.

Betrachte die Umgebung U mit Radius eps = |a-b|/2 um a.

Es gibt also ein N so, dass für n>N gilt an ∈ U.

Also können außerhalb von U nur Folgenglieder ak mit k<N liegen.

Das sind aber nur endlich viele.

Wenn andererseits V die eps-Umgebung um b ist , dann gilt U∩V = ∅

also sind alle Elemente von V außerhalb von U; demnach gibt es nur

endlich viele Folgenglieder in V.  Widerspruch !