Sei a ∈ R Grenzwert der Folge {xn}n∈N .
Dann musst du ja zeigen
1. a ist ein Häufungspunkt
2. Es gibt keine weiteren Häufungspunkte.
zu 1: Def. Häufungspunkt: In jeder Umgebung von a liegen unendlich viele Folgenglieder
Def. Grenzwert: In jeder Umgebung von a liegen von einem gewissen N an alle Folgenglieder
Wenn also von einem gewissen N an alle weiteren Folgenglieder in der
Umgebung liegen, dann sind das alle die mit Index n>N, also unendlich viele.
zu 2: Sei a der Grenzwert und b ein weiterer Häufungspunkt von b.
Betrachte die Umgebung U mit Radius eps = |a-b|/2 um a.
Es gibt also ein N so, dass für n>N gilt an ∈ U.
Also können außerhalb von U nur Folgenglieder ak mit k<N liegen.
Das sind aber nur endlich viele.
Wenn andererseits V die eps-Umgebung um b ist , dann gilt U∩V = ∅
also sind alle Elemente von V außerhalb von U; demnach gibt es nur
endlich viele Folgenglieder in V. Widerspruch !
